1.1. Дискретизация

Пусть требуется найти приближенное решение какой-либо задачи, в которой в качестве входных данных участвует какая-либо функция f(x), определенная на всем (бесконечном) множестве точек отрезка 0≤x≤1. Значения этой функции при каждом фиксированном x можно получить измерениями или вычислениями. Для запоминания этой функции в памяти компьютера необходимо приближенно описать ее таблицей значений на некотором конечном множестве отдельных точек . Это – простейший пример дискретизации задачи: от задачи запоминания функции на отрезке[0, 1] мы перешли к задаче запоминания таблицы значений на дискретном множестве точек из этого отрезка.

Пусть функция f(x), имеет достаточное число производных, а нам требуется вычислить ее производную , в данной точке x. Задачу отыскания

,

содержащую предельный переход, можно заменить приближенно задачами вычисления по одной из формул

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Для замены производной можно воспользоваться формулой

(1.4)

Все эти формулы уточняются при уменьшении h, а при каждом фиксированном h определены для конечных наборов значений функции и используют только арифметические операции. Эти формулы – примеры дискретизации задачи о вычислении производных , .

Рассмотрим краевую задачу

(1.5)

y(0) = 2, y(1) = 3,

Об отыскании функции y(x), определенной на отрезке . Для построения приближенной дискретной модели этой задачи осуществим следующие два шага.

Разобьем отрезок на N равных частей длины каждая, а вместо функцииy(x) будем искать набор значений этой функции в точках . В точках заменим производную приближенно по формуле (4) и получим

(1.6)

Кроме того, в силу граничных условий (5) положим

. (1.7)

Система N+1 линейных уравнений (1.6), (1.7) относительно того же числа неизвестных является дискретным аналогом задачи (1.5).

Есть основания думать, что с ростом N решение задачи (1.6), (1.7) есть все более точная таблица значений решения задачи (1.5) (в дальнейшем это будет показано).

Обозначим континуальную краевую задачу через , а дискретную краевую задачу (1.6), (1.7) через. Тогда можно сказать, что задаче мы сопоставили бесконечную последовательность дискретных задач (N=2,3,…).

Вычисляя решение задачи при каком-либо фиксированномN, мы имеем дело с конечным набором чисел, задающих входные данные, и с конечным набором чисел , подлежащих отысканию. Однако вычислительная математика обычно ставит своей целью предложить именно последовательность уточняющихся дискретных моделей, так как это дает возможность выбрать тоN, которое обеспечивает выполнение требований к точности.

Переход от континуальной задачи к последовательности ее дискретных моделей возможен многими способами. Пусть ,– какие-нибудь две последовательности таких моделей, причем вычисления решений дискретных задач и требует равных затрат. Тогда предпочтение надо отдать тому способу дискретизации, при котором решение дискретной задачи может служить решением исходной задачи с заданной точностью при меньшем значении N.

Бывает, что из двух, казалось бы, равноценных способов дискретизации и один при возрастании N дает все более точное приближение к решению континуальной задачи , а другой приводит к “приближенному решению” задачи, которое с ростомN теряет какое-либо сходство с искомым решением.

1.2. Обусловленность

Во всякой задаче требуется по входным данным сделать заключение о каких-либо свойствах решения. Похожие на первый взгляд задачи могут резко отличаться чувствительностью интересующих свойств решения к возмущению входных данных. Если это чувствительность “мала”, то задача считается хорошо обусловленной; в противном случае – плохо обусловленной. Обычно плохо обусловленные задачи не только предъявляют высокие требования к точности задания входных данных, но и более трудны для вычислений.

Пример. Пусть концентрация y = y(t) некоторого вещества в момент времени t есть функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

.

Фиксируем произвольно и делаем приближенное измерение концентрации , получим

.

Задача состоит в определении концентрации y = y(t) в произвольный момент времени t из отрезка .

Если бы число было известно точно, то можно было бы указать точную формулу

для концентрации. Но мы знаем лишь приближенное значение числа. Поэтому вместо мы можем указать лишь приближенную формулу . Очевидно, что погрешность выражается формулой

.

Допустим, нам нужно произвести замер с такой точностью ,,чтобы гарантировать некоторую заданную точность всюду на отрезке ,т.е. гарантировать оценку

.

Очевидно,

.

Отсюда получаем следующее требование к точности δ измерения y₀ :

.

Пусть измерение производится в момент . Тогда требование к точности измерения будет в раз, т.е. в тысячи раз выше, чем требуемая гарантированная точность ε результата. Ответ весьма чувствителен к погрешности задания входных данных, т. е. , и задача плохо обусловлена.

Если измерение производить при , то, т. е. достаточно измерение с гораздо меньшей точностью, чем в случае, и задача хорошо обусловлена.

Задача

На каком из двух отрезков x: или [-1, 0], задача вычисления лучше обусловлена.

Лекция № 2