mat_analiz_tipovik

ной формулой

(

)

2

Отсюда получаем формулу

−

dny = d dn

1y .

-

3

′

2

ÂÌ

dny = y(n) (dx)n .

МИРЭА

Пример 3.15. Найти дифференциал функции y = sin x + x3 + 1.

dy = sin x + x

+ 1

dx =

cos x + 3x

dx

Пример 3.16. Найти дифференциал функции

y = ln(tg 6x)

.

(

)

(

)

dy =

1

·

1

· 6dx

tg 6x

cos2 6x

Следовательно,(ÌÃÒÓ2 ) sin 3x

2

Пример 3.17. Найти d2y, åñëè y = tg 3x.

Вычислим сначала первую и вторую производные

1

3

′

y′ =

cos2 3x

· 3, y′′ =

(

cos2

3x

)

= 3

(cos−2 3x)′

=

Кафедра= 6 cos−3 3x ( sin 3x)

3 = 18

sin 3x

−

·

−

·

cos3 3x

Касательной к кривой y = f(x) в точке M0 называется прямая

M0N, являющаяся предельным положением секущих при усло-

2

-

вии, что точка M1 приближается к точке касания M0.

ÂÌ

Уравнение касательной к графику

y = f(x) в точке (x0, y0) ,

ãäå y0 = f(x0) :

.

. .

МИРЭА

y = y0 + f′(x0)(x − x0)

Кафедра

y

6

N

ÌÃÒÓ

y=f(x)

.

. . . sM1

.

y0.

..........sM0

-

0 .

.. .

x

. x

0

y = √3

.

. . . .

. . . .

x2

.

.

.. .

. ..

.

.

.

.

.

.

...

...

...

-

2

0

x

Ðèñ. 2.

-

Пусть в точке (x0, y0) к кривой y = f(x) проведена касатель-

ная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно

касательной, называется нормалью к кривой y = f(x).

y

6

ÂÌ

. нормаль

касательная

.

. y=f(x)

.

.

. .

.

.

МИРЭА

.

.

y0

...........s

-

.

0 .

.

x

0

. x

Ðèñ. 3.

Кафедра

Уравнение нормали к кривой

y = f(x) в точке (x0, y0) имеет

âèä:

ÌÃÒÓ

y = y0 −

1

(x − x0)

f′(x0)

имеет вид: y = y0 + f′(x0)(x − x0). Найдем значение функции в

точке x0 = 2: f(x0) = 22 − 3 · 2 + 5 = 3. Для определения углово-

2

го коэффициента касательной находим производную от заданной

функции: f′(x) = 2x − 3. Значение производной в точке x0 = 2 è

′(x

ÂÌ

дает искомый угловой коэффициент: f

) = 2

·

2

3 = 1. Таким

0

−-

образом, записываем уравнение касательной: y = 3 + 1 · (x − 2)

èëè y = x + 1. Уравнение нормали к графику функции y = f(x)

имеет вид: y = y0 −

1

(x −x0). В нашем случае: y = 3 − 11 (x −2)

f′(x0)

Кафедра

èëè y = −x + 5.

Ответ: уравнение касательной y = x + 1; уравнение нормали

y = −x + 5.

Пример 4.2. Найти уравнение касательной и нормали к кривой,

заданной параметрически: {y = e2t − 1.

ïðè t = 0

x = et

+ 1,

ÌÃÒÓ

1

Решение: Найд¼м сначала производные отМИРЭАx è y по переменной

t: x′

= et, y′ = e2t

·

2 = 2e2t.

y′

t

t

Затем найд¼м y′

по формуле y′

=

t

.

x

2e2t

x

xt′

В данном случае y′ =

= 2et.

x

et

85

9

Пример 4.3. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу

+ 4

= 1 в точках: а) M1

(

2, √3); á) M2(3, 0).

x2

y2

3

Воспользуемся правилом дифференцирования функции, заданной

неявно: 8x + 18y

·

y′ = 0. Отсюда найдем производную y′

=

−

4x

.

√

x

9y

Значение производной в точке M1: y′(M1) = −

2

3

.

9

√

(x −22).

Уравнение касательной в точке M1: y = √3 − 9

2

3

3

Уравнение нормали в точке M1: y = √

+

2√

(x

−

-2).

3

3

ÂÌ

9

3

Значение производной в точке M2: y′(M2) = ∞.

Уравнение касательной в точке M2: x = 3.

Уравнение нормали в точке M2: y = 0.

Кафедра

Замечание

. Другой способ решения этой задачи основан на ис-

пользовании параметрического задания эллипса

x = 3 cos t,

Точке M1 (

{y = 2 sin t.

2, √3) соответствует значение параметраМИРЭАt = 3 . Òî÷-

3

ÌÃÒÓ

π

π

. Найти урав-

êå M2(3, 0) соответствует значение параметра t =

2

нение касательной и нормали самостоятельно.

y

6

.....r. . . . y=f(x)

df( x0 ;∆x)

{. . . . . . . .. ....

. . . . . . . . . ..

y0

..r ..

2

. .

.

.

.

. .

.

ÂÌ

. .

.

.

.

МИРЭА

. .

.

-

. . .

.

.

.

∆x

.

.

.

}|

{

x

.

xz

.

.

.

-

0

Ðèñ. 4.

Пример 4.4. Вычислить приближенно √

.

3,996

Решение: Рассмотрим функцию f(x) = √

. Тогда

x

f(x0 + ∆x) = √x0 + ∆x, f(x0) =

√x0, f′(x0) = 2√x0 .

1

Приближенное равенство

f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f′(x0)∆x

в данном случае примет вид

(x0 > 0)

Кафедра√x0 + ∆x ≈ √x0 + 2√x0 · ∆x

1

Число 3,996 можно представить в виде 3,996 = 4 + (−0,004). Â

этом случае x0 = 4, ∆x = −0,004. Тогда

· (−0,004) = 1,999

√3,996 = √4 ÌÃÒÓ+ (−0,004) ≈ √4 + 2√4

1

как отношение

2

-

дел средней скорости за промежуток времени ∆t при условии

Кафедра

ÂÌ

∆t → 0. Таким образом, получаем

v(t) = lim

∆s

= s′(t),

∆t→0

∆t

образом, задача сводится к нахождению функции по заданной

2

2

второй производной. Можно проверить, что решением является

функция s(t) =

gt2

+ C t + C , ãäå C , C

-

некоторые произволь-

1

2

1

2

ÂÌ

Напряжение на элементе электрической цепи индуктивности

определяется по следующей формуле UL

= L

di

, ãäå i òîê â

dt

öåïè, L индуктивность.

-

Пример 4.8. Найти напряжение на индуктивности, если ток

i(t) = e−at, ãäå a постоянная.

МИРЭА

2

di

Решение: UL = L

dt

= −aLe−at.

4.3.3. Переходный процесс в линейной электрической

öåïè

Кафедра

Пример 4.9. Пусть линейная электрическаяÂÌцепи, состоящая из

последовательно соединенных элементов сопротивления R è èí-

дуктивности L присоединяется к источнику э.д.с. ε = ε(t). Îïè-

Методы решения таких уравнений будут изучаться позднее. При-

ведем ответ в случае постоянной э.д.с. ε(t) = E.

ÌÃÒÓ

E

E

Rt

i(t) =

−

exp

(−

) .

R

R

L

Правило Лопиталя для отношения бесконечно-2малых

(неопределенности вида 0)

0

ÂÌ

МИРЭА

Пусть функции f(x) è g(x) определены в некоторой проколотой

окрестности O(x0) точки x0 , g(x) ̸= 0 ïðè x èç O(x0), è

lim f(x) = lim g(x) = 0.

Кафедра

x→x0

x→x0

Предположим, что при x ̸= x0 функции f(x) è g(x) имеют произ-

водные, g′(x) = 0 ïðè x èç O(x

), и существует предел отношения

̸

0

этих производных:

f′(x)

lim

.

x→x0

g′(x)

ÌÃÒÓ

Тогда при x → x0 существует предел отношения самих функций

è

f(x)

f′(x)

lim

= lim

.

x

→

x0

g(x)

x x0

g′(x)

→