Краткий курс математического анализа. Том 1

Кривая, являющаяся объединением конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой.

З а м е ч а н и е 2. Понятие кривой имеет в своей основе понятие траектории движущейся материальной точки. Если конец радиусавектора r(t) описывает траекторию движения этой точки, а пара-

метр t является временем движения, то производная ddtr равна мгновенной скорости в данный момент времени.

17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые.

Под длиной кривой понимается точная верхняя грань длин вписанных в эту кривую ломаных. Сформулируем это определение более подробно. Введем сначала понятие разбиения отрезка — понятие, которое будет неоднократно встречаться в дальнейшем.

О п р е д е л е н и е 2. Для отрезка [a, b] всякая система τ = {ti}ii==i0τ точек ti, i = 0, 1, 2, ..., iτ , таких, что

a = t0 < t1 < ... < tiτ = b,

называется его разбиением. Пусть задана кривая

Γ= {r(t) ; a t b}

ипусть τ = {ti}ii==i0τ — некоторое разбиение отрезка [a, b]. Положим

т. е. στ — это длина ломаной с вершинами в точках Mi, являющихся концами радиусов-векторов r(ti), i =

= 0, 1, ..., iτ , иначе говоря, ломаной, вписанной в кривую Γ (рис. 93).

О п р е д е л е н и е 3. Верхняя грань длин всевозможных ломаных, вписан-

ных в данную кривую, называется ее

длиной.

Таким образом, длина SΓ кривой Γ определяется формулой

τ

где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям τ отрез-

ка [a, b]. Очевидно, 0 SΓ +∞.

Если SΓ < +∞, то кривая Γ называется спрямляемой.

8*

228Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Те о р е м а 1. Если кривая Γ = {r(t) ; a t b} непрерывно диф-

ференцируема, то она спрямляема и ее длина SΓ удовлетворяет неравенству

Прежде всего заметим, что в силу непрерывности на отрезке [a, b] производной r (t) числовая функция |r (t)| также непрерывна на этом отрезке, а следовательно, ограничена и принимает на нем наибольшее

значение. Поэтому существует число c = max |r (t)| < +∞.

[a,b]

Возьмем какое-либо разбиение τ = {ti}ii==i0τ отрезка [a, b]. Тогда, используя очевидное векторное тождество

=1

длина вписанной в кривую Γ ломаной, соответствующей разбиению τ , то из неравенства (17.23) следует, что

|r(b) − r(a)| στ c(b − a).

Перейдя в этом неравенстве к верхней грани по всевозможным разбиениям τ отрезка [a, b], получим, в силу определения (17.19), неравенство (17.20)

Поэтому SΓ < +∞, т. е. кривая Γ спрямляема.

Те о р е м а 2. Если кривая Γ = {r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ; a t b}

непрерывно дифференцируема, то переменная длина дуги s = s(t), от начала кривой Γ до ее точки со значением параметра, равного t,

является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией

ра r(t). Пусть s(t) — длина дуги кривой Γ от точки M (a) до точ-

где c — наибольшее значение |r (t)| на отрезке с концами в точках t и t + t. Обозначим через ξ = ξ(Δt) точку этого отрезка, в которой

230Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

За м е ч а н и е 1. Если длина σ дуг кривой Γ отсчитывается от ее конца, то σ = SΓ − s и, следовательно, dσds = −1, поэтому

т. е. Γ — гладкая кривая, то в силу теоремы 2 переменная длина дуги s = s(t), отсчитываемая от начала M (a) кривой Γ, является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией с производ-

ной, положительной во всех точках отрезка [a, b] : s (t) = |r (t)| > 0. А так как s(a) = 0, s(b) = SΓ, то обратная функция t = t(s) одно-

значна, строго возрастает, непрерывно дифференцируема на отрез-

dt

Поскольку на гладкой кривой можно взять за параметр длину дуги, то формула (17.32) имеет место для гладких кривых.

Разъясним геометрический смысл равенства (17.32).

Отрезок, соединяющий две точки кривой, называется хордой, стягивающей дугу кривой с концами в этих точках. Пусть кривая Γ глад-

кая и r(s), 0 s S, — ее векторное представление, в котором в качестве параметра выбрана переменная длина дуги кривой s [0, S].

Длина хорды, соединяющей концы радиусов-векторов r(s0) и r(s0 + s), s0 [0, S], s0 + s [0, S], равна длине | r| вектора r = r(s0 + s) − r(s0) (рис. 94). В силу равенства (17.32) для предела

стягиваемой ею дуги стремится к единице, когда s → 0.

З а м е ч а н и е 3. Координатами всякого единичного вектора являются его направляющие косинусы, т. е. косинусы

углов, которые он образует с осями координат. Поэтому если обозначить через α, β и γ углы, которые образует с координатными осями

З а м е ч а н и е 4. Если плоская кривая является графиком функции y = f (x), a x b, т. е. параметром кривой является переменная

x, то x = 1, и поэтому

dxds = 1 + y 2 .

З а м е ч а н и е 5. Если кривая Γ гладкая и в качестве параметра на ней взята переменная длина дуги s, 0 s S, то единичный касатель-

ный вектор τ = ddsr является непрерывной функцией переменной s. Если какая-то функция является непрерывной функцией пара-

метра кривой, то будем говорить, что она непрерывна вдоль кривой. Теперь можно сказать, что на ориентированной гладкой кривой имеется непрерывный вдоль нее единичный касательный вектор. При изменении ориентации кривой, т. е. при переходе к параметру

232 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Таким образом, ориентации гладкой кривой однозначным образом соответствует выбор непрерывного единичного касательного вектора вдоль кривой τ или τ .

Пусть Γ — плоская кривая и на плоскости фиксирован базис i, j. В этом случае каждому касательному вектору τ и τ соответствует единственный перпендикулярный к нему единичный вектор ν и соответственно ν (нормаль к кривой) такой, что пары векторов τ , ν и τ , ν ориентированы так же как пара i, j векторов базиса (т. е. так, что определители преобразования этих пар положительны). Очевидно, что ν = −ν, и нормали ν и ν также являются непрерывными функциями вдоль кривой Γ. Из сказанного ясно, что при фиксированной системе координат ориентация плоской кривой может быть задана непрерывной вдоль этой кривой единичной нормалью.

§18. Кривизна кривой

18.1.Определение кривизны и радиуса кривизны кривой.

Важной характеристикой кривой является ее кривизна. Определим это понятие.

О п р е д е л е н и е 1. Абсолютная величина (длина) скорости вра-

щения единичного касательного вектора к кривой в данной ее точке относительно переменной длины дуги называется кривизной кривой в этой точке.

Если Γ = {r(t) ; a t b} — гладкая кривая, a s = s(t) — переменная длина ее дуги, отсчитываемая от начала кривой Γ, то вектор

к кривой Γ. Поэтому кривизна кривой в данной ее точке, обозначаемая обычно через k, согласно данному определению задается формулой

Из этой формулы видно, что определение (18.2) имеет смысл тогда, когда функция r(s) является по крайней мере дважды дифференцируемой.

Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны кривой в данной точке и обозначается через R. Таким образом,

234 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

а следовательно, для рассматриваемой кривой в каждой ее точке определена кривизна k (см. (18.2)) и для нее справедлива форму-

ла (18.3).

Те о р е м а 1. Если Γ = {r(t) ; a t b} — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, то в каждой точке кривой существует кривизна k и для нее справедлива формула

Штрихом здесь и в дальнейшем обозначаются производные по параметру t, производные же по длине дуги будут обозначаться че-

дикулярна (см. лемму из п. 16.2). Длина векторного произведения

Из формулы (18.10) можно получить формулу, выражающую кривизну через производные координатных функций: если i, j и k — единичные векторы координатных осей переменных x, y, z и

236 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

s → 0, направлена в сторону отклонения кривой от касательной (рис. 96).

Разложим векторную функцию r = r(s) в окрестности точки s0 по формуле Тейлора:

О п р е д е л е н и е 3. Всякая прямая, проходящая через точку кри-

вой и перепендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке. Нормаль к кривой, параллельная вектору ν, называется главной нормалью.

Таким образом, главной нормалью называют как вектор ν, так и параллельную ему прямую, проходящую через соответствующую точку кривой.

О п р е д е л е н и е 4. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающейся плоскостью в этой точке.

Эта плоскость обладает тем свойством, что дважды непрерывно дифференцируемая кривая в окрестности каждой своей точки, в которой кривизна не равна нулю, лежит «почти» в соприкасающейся плоскости. Это означает, что конец радиуса-вектора r(s0 + s) отстоит от

конца радиуса-вектора r(s0) + sτ + 12 k s2ν, лежащего, очевидно,