Краткий курс математического анализа. Том 1

Если число δ можно выбрать не зависящим от точки x так, чтобы при

выполнении условия (7.20) выполнялось условие (7.21), то функция f называется равномерно непрерывной. Сформулируем определение это-

го важного понятия более подробно.

О п р е д е л е н и е 2. Функция f , заданная на отрезке [a, b], называется равномерно непрерывной на нем, если для любого ε > 0

существует такое δ > 0, что для любых двух точек x [a, b] и x [a, b] таких, что |x − x| < δ, выполняется неравенство |f (x ) − f (x)| < ε.

В символической записи определение непрерывности функции на

Здесь точки x и x принадлежат отрезку, на котором задана функция f.

П р и м е р ы. 1. Функция f (x) = x равномерно непрерывна на всей числовой оси R. Действительно, если задано ε > 0, то, выбрав δ = = ε, получим, что для любых точек x и x таких, что |x − x| < δ, выполняется неравенство

|f (x ) − f (x)| = |x − x| < δ = ε,

т.е. условия определения 1 выполнены.

2.Функция f (x) = x2 не равномерно непрерывна на всей числовой оси R.

Это следует из того, что для любого h = 0 имеет место

Поэтому, если задано ε > 0, то, каково бы ни было δ > 0, зафиксировав h = 0, |h| < δ, можно в силу (7.23) так выбрать x, что для точек x = x + h и x будем иметь

|f (x ) − f (x)| > ε,

и в то же время

|x − x| = |h| < δ.

Ясно, что всякая равномерно непрерывная на отрезке функция непрерывна на нем: если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку x, то получится определение непрерывности в этой точке. Верно и обратное утверждение.

Те о р е м а 5 (Кантор). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

Из двух значений f (x ) − f (x) и f (x) − f (x ) одно неотрицательно и, следовательно, не меньше второго, поэтому величина верхней грани и в правой части равенства не изменится, если вместо абсолютной величины |f (x ) − f (x)| разности f (x ) − f (x) взять саму эту разность:

ω(f ; [a, b]) = sup (f (x ) − f (x)).

x,x [a,b]

Справедливо следующее утверждение.

Для того чтобы функция f была равномерно непрерывна на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое δ > 0, что для любого отрезка [x, x ] [a, b] такого, что 0 < x − x < δ, выполнялось неравенство

следует, что |f (x ) − f (x)| < ε, а поэтому выполняется утверждение (7.22).

Обратно, если справедливо утверждение (7.22), то для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любых двух точек x и x отрезка [a, b], удовлетворяющих условию |x − x| < δ, имеет место неравенство |f (x ) − f (x)| < ε/2. В частности, это неравенство выполняется и для всех таких точек x, x [a, b], для которых 0 < x − x < δ.

Но для любых двух точек ξ и η отрезка [x, x ] выполняется, очевидно, неравенство 0 < |η − ξ| < x − x < δ, а следовательно, и нера-

Утверждение доказано.

§ 8. Непрерывность элементарных функций

8.1. Многочлены и рациональные функции.

Те о р е м а 1. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.

Действительно, во-первых, постоянная на всей числовой оси функция непрерывна во всех точках (см. свойство 3◦ пределов функций в п. 6.7); во-вторых, функции xk , k = 1, 2, ..., также непрерывны на всей числовой оси (см. пример в п. 7.3), а любой многочлен Pn(x) = a0 + a1x + ... + anxn является линейной комбинацией функций 1, x, x2, ..., xn с коэффициентами a0, a1, ..., an, поэтому, согласно следствию из свойства 6◦ пределов функции в п. 6.7, он непрерывен на всей числовой оси.

140 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Те о р е м а 2. Рациональная функция P (x) , где P (x) и Q(x) —

Q(x)

многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которых

Q(x) = 0.

Это сразу следует из непрерывности многочленов P (x) и Q(x) на всей числовой оси и непрерывности частного непрерывных функций во всех точках, в которых знаменатель не обращается в нуль (см. следствие из свойства 6◦ пределов функций в п. 6.7).

8.2. Показательная и логарифмическая функции. Перечислим основные свойства степеней ar, a > 0, с рациональными пока-

зателями, т. е. r Q (см. п. 2.1).

1◦. Пусть r1 < r2. Если a > 1, то ar1 < ar2 , а если a < 1, то ar1 > ar2 .

2◦. ar1 ar2 = ar1+r2 . 3◦. (ar1 )r2 = ar1r2 .

Эти свойства доказываются в курсе элементарной математики в предположении существования и однозначной определенности ar для любого рационального r, a > 0, а это было доказано в п. 7.3.

Вспомним еще, что a0 = 1 и a−r = a1r , r Q.

Из свойства 1◦ вытекает, что для любого r Q выполняется неравенство ar > 0. В самом деле, если a > 1 и r 0, то по свойству 1◦

ar a0 = 1 > 0. Отсюда следует, что a−r = a1r > 0. Аналогично рассматривается случай 0 < a < 1. Наконец, если a = 1, то 1r = 1 > 0.

Нашей ближайшей задачей является определение значения выражения ax для любого действительного числа x и a > 0. Затем будут изучены свойства функции ax.

Л е м м а 1. Для любого a > 0 имеет место равенство

Из (8.3) и (8.4) вытекает, что

a = (1 + xn)n = 1 + nxn + ... > nxn.

142Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Оп р е д е л е н и е. Пусть a > 0 и x R. Определим ax как предел ar по множеству рациональных чисел Q, когда r → x, т. е.

r→x r Q

Докажем, что это определение корректно, т. е. покажем, используя критерий Коши для предела функции (см. теорему 5 в п. 6.12), что предел (8.7) существует.

Пусть a 1 и x R. В силу принципа Архимеда существует нату-

Зададим произвольно ε > 0. Согласно следствию леммы 1 существует такое δ > 0, что для всех рациональных r, удовлетворяющих

Если это условие выполняется для некоторого δ > 0, то оно заведомо выполняется и для всякого меньшего положительного δ. Поэтому указанное δ > 0 можно всегда выбрать так, чтобы выполнялось неравенство (см. (8.8))

Таким образом, для произвольно заданного ε > 0 существует такое

146 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Поскольку lim xrn = xy, то в силу непрерывности функции ax на

n→∞

всей числовой оси имеет место равенство

Переходя к пределу при n → ∞ в равенстве (8.22), в силу (8.23)

и(8.24) получим (ax)y = axy .

До к а з а т е л ь с т в о. 5◦. Поскольку функция ax строго монотон-

ная, то для того чтобы доказать, что ее областью значений является бесконечный интервал (0, +∞), надо согласно теореме 4 п. 7.3 доказать, например, при a > 1, что

Эти пределы (конечные или бесконечные) в силу монотонности функции всегда существуют (см. п. 6.11), поэтому достаточно лишь доказать, что для каких-либо фиксированных последователь-

выше (см. пример 4 в п. 5.1).

Функция, обратная к показательной функции y = ax, a > 0, a = 1, называется логарифмической и обозначается lna y. В силу свойства 5◦

показательной функции логарифм lna y определен для любого положительного числа. Число a называется основанием логарифмической функции y = lna x. Особую роль в математическом анализе играет

логарифмическая функция с основанием a = e, она обозначается ln x

и называется натуральным логарифмом.

Согласно определению обратной функции справедливо тождество

Те о р е м а 4. Логарифмическая функция y = lna x, a > 0, a = 1, определена и непрерывна при любом x > 0. При этом она строго возрастает при a > 1 и строго убывает при 0 < a < 1.

Это непосредственно следует из свойств 1◦, 4◦ и 5◦ показательной функции (теорема 3) и теоремы 4 из п. 7.3.

Подчеркнем, что нами, в частности, доказано, что при любом основании a > 0, a = 1, логарифм lna x определен для любого положительного числа x.