Краткий курс математического анализа. Том 1

3. Последовательность xn = n2, n = 1, 2, ..., бесконечно большая

и lim n2 = +∞. В самом деле, согласно принципу Архимеда для

n→∞

любого ε > 0 существует такое натуральное число nε, что nε > 1/ε. Для любого же номера n > 1, очевидно, имеет место неравенство n2 > n, поэтому при n > nε выполняется условие

n2 > n > nε > 1/ε,

В самом деле, положим α = a − 1; тогда α > 0 и по формуле бинома Ньютона

А это по определению предела и означает справедливость равенств (5.9).

Определение предела числовой последовательности обобщается на последовательности точек расширенной числовой прямой R, т. е. числовой прямой, дополненной отрицательной (−∞) и положительной (+∞) бесконечностями (п. 1.2.2). По форме оно полностью совпадает

сопределением 1.

Оп р е д е л е н и е 4. Точка a расширенной числовой прямой называется пределом последовательности точек этой прямой, если какова

бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.

Отличие от вышерассмотренного случая состоит в том, что здесь членами последовательности могут быть не только действительные числа, но и бесконечности со знаками.

Конечно, понятие предела можно обобщить и на случай последовательности точек прямой, расширенной с помощью только одной бесконечно удаленной точки — бесконечности без знака, однако

вдальнейшем у нас такие последовательности не будут встречаться.

5.2.Единственность предела последовательности. Докажем теорему о единственности предела последовательности.

78Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Те о р е м а 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой R может иметь на этой прямой только один предел.

Допустим противное. Пусть существует такая последовательность

b R. Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U (a)

и V = V (b) точек a и b (рис. 49): U ∩ V = . Согласно определению предела вне окрестности U точки a, в частности, в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {xn}. Однако точ-

ка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие.

5.3.Переход к пределу в неравенствах. Сформулируем

идокажем три часто используемые свойства пределов последовательностей точек расширенной числовой прямой, связанные с равенствами

инеравенствами для членов последовательностей.

1◦. Если для всех n = 1, 2, ... имеет место равенство xn = a R,

то lim xn = a.

n→∞

Действительно, в этом случае для любой окрестности U (a) точки a

то существует такой номер n0, что для всех номеров n>n0 выполняется неравенство

Пусть U = U (a) и V = V (b) — какие-либо непересекающиеся окрестности точек a и b (см. рис. 49); тогда из условия a < b следует, что для любых x U и y V выполняется неравенство

В силу условия (5.13) существует такой номер n0, что для всех номеров n > n0 выполняются включения

а поэтому согласно (5.16) имеют место неравенства (5.15).

С л е д с т в и е 1. Пусть a, b и xn, n = 1, 2, ..., принадлежат R. Если lim xn = a и a < b (a > b), то существует такой номер n0,

n→∞

что для всех номеров n > n0 выполняется неравенство

Пусть a < b. Рассмотрим вспомогательную последовательность yn = b, n = 1, 2, ...; тогда для последовательностей {xn} и {yn} выполняются условия (5.13) и (5.14), а следовательно, и условие (5.15), которое в данном случае превращается в (5.18). Аналогично рассматривается случай a > b.

= 1, 2, ..., a R, b R, и для всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

Пусть выполнено условие (5.19). Если бы оказалось, что a < b, согласно свойству 3◦ нашелся бы такой номер n0, что для всех номеров n > n0 выполнялось бы неравенство xn < yn, что противоречит условию (5.19). Следовательно, выполняется неравенство (5.20).

Из следствия 2, в частности, вытекает, что если xn b, n = 1, 2, ...,

и lim xn = a, то имеет место неравенство a b.

n→∞

В самом деле, если взять вспомогательную стационарную последовательность yn = b, n = 1, 2, ..., то для последовательностей {xn}

и {yn} будут выполняться условия следствия 2, т. е. lim xn = a R,

n→∞

xn R, n = 1, 2, ..., и для всех n = 1, 2, ... справедливы неравенства

xn b = yn.

Поэтому согласно следствию 2 имеет место и неравенство

80 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Зафиксируем произвольно окрестность U (a) точки a. В силу условий (5.23) существует такой номер n1, что для всех номеров n > n1 выполняется включение

и такой номер n2, что для всех номеров n > n2 выполняется включение

Пусть выполнено условие (5.27). Рассмотрим вспомогательную последовательность zn = +∞, n = 1, 2, ...; тогда, очевидно, для после-

В самом деле, если a R, то условие xn U (a, 1/n) равносильно

условию |xn − a| < 1/n, а так как |xn − a| 0 и lim 1/n = 0, то

n→∞

согласно свойству 3◦ имеет место равенство lim |xn − a| = 0. Отсюда

n→∞

сразу и следует, что

lim xn = a.

n→∞

В дальнейшем в этом параграфе будут рассматриваться только последовательности, все члены которых являются числами, т. е. только числовые последовательности, а не последовательности элементов расширенной числовой прямой, как это делалось выше.

5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей.

О п р е д е л е н и е 5. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено

сверху (снизу).

Иначе говоря, числовая последовательность {xn} ограничена сверху (снизу), если существует такое число c R, что для всех номеров n выполняется неравенство xn c (соответственно

неравенство xn c).

Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной.

Таким образом, числовая последовательность {xn} ограничена, если существуют такие числа a R и b R, что для всех номеров n выполняется условие a xn b. Это условие, очевидно, равносильно тому, что существует такое число c > 0, что для всех номеров n имеет место неравенство

Последовательность, не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной сверху (снизу), а последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченой. Примером

неограниченных последовательностей являются бесконечно большие последовательности (см. п. 1.5.1, определение 3). Следует заметить, однако, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, последовательность

xn = (−1)nn + n

неограниченная, но не бесконечно большая.

Те о р е м а 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Пусть последовательность xn R, n = 1, 2, ..., имеет конечный

предел lim xn = a R. Тогда согласно определению предела после-

n→∞

довательности (см. п. 1.5.1, определение 1), взяв ε = 1, получим, что существует такой номер n1, что для всех номеров n > n1 будет выпол-

няться неравенство

|xn − a| < 1

82 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(в определении предела последовательности можно взять любое ε > 0; мы взяли ε = 1; рис. 51). Обозначим через d наибольшее из чисел 1, |x1 − a|, ..., |xn1 − a|. Тогда, очевидно, в силу условия (5.29) для всех n N будет иметь место неравенство

|xn − a| d,

или, что равносильно,

a − d xn a + d.

Это и означает, что последовательность {xn} ограничена.

5.5. Бесконечно малые последовательности. Над числовыми последовательностями можно производить арифметические операции. Определим их.

О п р е д е л е н и е 6. Пусть {xn} и {yn} — числовые последователь-

ности. Тогда числовая последовательность {xn + yn} называется их

суммой {xn} + {yn}, {xn − yn} — их разностью {xn} − {yn}, {xnyn} —

Если λ — действительное число, то произведением λ{xn} числовой последовательности {xn} на число λ называется последователь-

ность {λxn}. Таким образом, получается тот же результат, что и от умножения стационарной последовательности {λ} на последовательность {xn}:

О п р е д е л е н и е 1. Числовая последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.

Рассмотрим свойства бесконечно малых.

1◦. Любая конечная линейная комбинация бесконечно малых является бесконечно малой.

Пусть числовые последовательности {αn} и {βn} бесконечно малые, т. е.

а λ и μ — какие-либо действительные числа. Покажем, что последовательность {λαn + μβn} также бесконечно малая. Зададим произвольно ε > 0 и возьмем какое-либо число c такое, что

Тогда, согласно определению предела, из (5.30) следует, что существует такой номер n0, что для всех номеров n > n0 выполняются

неравенства

|αn| < ε/c, |βn| < ε/c

Это и означает, что

lim (λαn + μβn) = 0,

n→∞

т. е. что последовательность {λαn + μβn} бесконечно малая. Соответствующее утверждение для любой конечной линейной комбинации бесконечно малых следует из доказанного методом математической

индукции.

2◦ Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой.

Пусть

lim αn = 0

n→∞

и {xn} — ограниченная последовательность, т. е. существует такое c > > 0, что для всех номеров n выполняется неравенство

Зафиксируем произвольное ε > 0, тогда согласно определению предела из условия (5.33) следует, что существует такой номер n0, что для всех номеров n > n0 имеет место неравенство

Это и означает, что lim αnxn = 0, т. е. что последовательность {anxn}

n→∞

бесконечно малая.

С л е д с т в и е. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

Если lim αn = lim βn = 0, то последовательность {βn}, имея

n→∞ n→∞

конечный предел, является ограниченной последовательностью. Поэтому произведение {αnβn} бесконечно малых последовательностей {αn} и {βn} можно рассматривать как произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность, и, следовательно, согласно свойству 2◦ это произведение является бесконечно малой последовательностью.

Соответствующее утверждение для любого конечного числа бесконечно малых последовательностей получается из данного методом математической индукции.

84Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

5.6.Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями. Бесконеч-

но малые последовательности играют в теории пределов особую роль, так как понятие конечного предела последовательности можно в определенном смысле свести к понятию бесконечно малой. Сформулируем это утверждение в виде леммы.

Л е м м а 1. Числовая последовательность {xn} имеет конечный предел, равный числу a, тогда и только тогда, когда последователь-

Пусть заданы числовая последовательность {xn} и число a. Если

αn = xn − a, то условие lim xn = a согласно определению предела по-

n→∞

следовательности равносильно тому, что для любого ε > 0 существует такой номер nε, что для всех номеров n > nε выполняется неравенство |xn − a| < ε, т. е. неравенство |αn| < ε, а это равносильно тому, что lim αn = 0, т. е. тому, что последовательность {αn} бесконечно

Утверждение леммы можно перефразировать следующим образом: число a является пределом последовательности {xn} тогда и только тогда, когда xn = a + αn, где {αn} — бесконечно малая последовательность.

Рассмотрим свойства пределов числовых последовательностей.

1◦. Если последовательность {xn} сходится, то сходится и по-

следовательность {|xn|}, причем, если lim xn = a, то

n→∞

Если lim xn = a, то для любого ε > 0 существует такой номер nε,

n→∞

что для всех номеров n > nε выполняется неравенство |xn − a| < ε, а поскольку ||xn| − |a|| |xn − a|, то выполняется и неравенство

||xn| − |a|| < ε,

а это и означает выполнение равенства (5.37).

2◦. Конечная линейная комбинация сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью, и ее предел равен такой же линейной комбинации пределов данных последовательностей.

Тогда в силу необходимости условий (5.36) для существования соответствующих конечных пределов члены последовательностей {xn} и {yn} можно представить в виде

Пусть теперь λ и μ — какие-либо числа. Тогда члены последовательности {λxn + μyn} представимы в виде

где последовательность {λαn + μβn} в силу бесконечной малости последовательностей {αn} и {βn} также бесконечная малая (см. свойство 1◦ бесконечно малых последовательностей в п. 1.5.5):

Поэтому в силу достаточности условий (5.36) для существования соответствующего конечного предела из равенств (5.41) следует, что последовательность {λxn + μyn} имеет предел, равный λa + μb:

Соответствующее утверждение для любой конечной линейной комбинации сходящихся последовательностей получается из доказанного методом математической индукции.

3◦. Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, то их произведение {xnyn} также сходится:

ствует и равен произведению пределов данных последовательностей.

причем последовательность {bαn + aβn} бесконечно малая как линейная комбинация бесконечно малых последовательностей {αn} и {βn}, а последовательность {αnβn} бесконечно малая как произведение

86 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

тех же последовательностей, поэтому бесконечно малой является и их сумма {bαn + aβn + αnβn}:

Из равенств (5.45) и (5.46) следует, что

С л е д с т в и е. Если последовательность {xn} сходящаяся и m — натуральное число, то

Это непосредственно следует из свойства 3◦, так как возведение числа в целую положительную степень m сводится к повторному умножению на это число m раз.

т. е. при сделанных предположениях предел частного сходящихся последовательностей существует и равен частному от пределов данных последовательностей.

ку |b| > 0 (ибо b = 0) и 0 < |b|/2 < |b|, то согласно следствию 1 из свойства 3◦ пределов последовательностей (п. 1.5.3) существует такой номер n0, что для всех n > n0 выполняется неравенство |yn| > |b|/2 и, следовательно, неравенство

(поскольку все yn = 0, то на yn можно делить). Теперь имеем

Здесь последовательность

1

b(b + βn)