chast_2_zadachi

31

Задача 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд τ=0,1 мкКл/м. Определить потенциал ϕ поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

Решение:

Геометрия задачи показана на рисунке. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала формулу:

где r - расстояние от точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня. Из рисунка следует, что dlcosα=rdα. Подставив dl из этого выражения в формулу (2), находим:

dϕ= τdα . 4πε0 cosα

Интегрируя последнее выражение в пределах от α1 до α2, получим формулу для потенциала, создаваемого всем зарядом, распределенным на стержне:

ϕα2 τdα

=α∫1 4πε0 cosα .

Всилу симметрии расположения точки A относительно

концов стержня, имеем α1=α2=π/6 и, поэтому, пределы интегрирования возьмем от 0 до π/6, а результат удвоим:

32

ϕ2τ α1 dα

=4πε0 ∫0 cosα .

Проинтегрировав и подставив пределы интегрирования, получим ответ:

Ответ: ϕ=990 В.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. При перемещении заряда Q=20 нКл между двумя точками поля, внешними силами была совершена работа A=4 мкДж. Определить работу A сил поля и разность потенциалов Δϕ этих точек поля.

(Ответ: A= -4 мкДж, Δϕ=200 В.)

Задача 7. Определить потенциал ϕ электрического поля в точке, удаленной от зарядов Q1= -0,2 мкКл и Q2=0,5 мкКл, соответственно, на r1=15 см и r2=25 см. (Ответ: ϕ=6 кВ.)

Задача 8. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=10 нКл/м. Определить потенциал ϕ в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии a=5 см от центра. (Ответ: ϕ=505 В.)

Задача 9. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=10 нКл/м. Вычислить потенциал ϕ, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрез-

ка. (Ответ: ϕ=62,4 В.)

Задача 10. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной a. Стержни заряжены с линейной плотностью τ=1,33 нКл/м. Найти потенциал ϕ в центре квадрата. (Ответ:

ϕ=84,7 В.)

Задача 11. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d=0.5 см друг от друга. На плоскостях

33

равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ1=0,2 мкКл/м2 и σ2=-0,3 мкКл/м2. Определить разность потенциалов Δϕ между плоскостями. (Ответ: Δϕ=141 В.)

Задача 12. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала ϕ1=20 В каждая, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал ϕ образовавшейся капли? (Ответ: ϕ =432

В.)

Задача 13. Напряженность E однородного электрического поля равна 120 В/м. Определить разность потенциалов Δϕ между двумя точками, лежащими на одной силовой линии и находящимися на расстоянии r=1 мм. (Ответ: Δϕ=0,12 В.)

Задача 14. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R=10 см. Он заряжен с линейной плотностью τ=300 нКл/м. Какую работу A надо совершить, чтобы перенести заряд Q=5 нКл из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии a=20 см от его центра? (Ответ: A=47 мкДж.)

Задача 15. Электрическое поле создано положительным точечным зарядом. Потенциал ϕ поля в точке, удаленной от заряда на r=12 см, равен 24 В. Определить значение и направление градиента потенциала в этой точке. (Ответ: gradϕ =200 В/м, градиент направлен к заряду.)

Тема 3. Электроемкость. Конденсаторы

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти электроемкость С уединенного металлического шара радиусом R=1 см.

Решение:

Электрическая емкость уединенного проводника по определению равна:

C = ϕq ,

где q - заряд, сообщенный проводнику, ϕ - потенциал проводника. Потенциал металлического шара ϕ равен потенциалу на его поверхности:

34

ϕ = q , 4πε0 R

поэтому электроемкость металлического шара определяется выражением:

C = 4πε0 R .

Принимая во внимание, что электродинамическая постоянная ε0 равна 8,85 10-12 Ф/м, и подставляя численное значение для радиу-

са шара R=0,01м, получаем С=1,11 10-12 Ф =1,11 пФ.

Ответ: C=1,11 пФ.

Задача 2. Два металлических шара радиусами R1=2 см и R2=6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен заряд Q=1 нКл. Найти поверхностные плотности σ1 и σ2 зарядов на шарах.

Решение:

Обозначим заряд первого шара через q1. Так как суммарный заряд на обоих шарах равен Q, то заряд второго шара будет q2=Q- q1. Так как емкостью соединительного проводника можно пренебречь, то шары можно рассматривать как уединенные, и определять емкости каждого шара по формулам C1=4πε0R1 и C2=4πε0R2, соответственно. Пользуясь формулой емкости уединенного проводника:

C = ϕq ,

найдем потенциалы шаров:

Так как шары соединены проводником и представляют собой единый металлический предмет, то их потенциалы равны между собой ϕ1=ϕ2 или:

Решая полученное уравнение относительно q1, находим заряд первого шара:

а затем и заряд второго шара:

Так как площадь поверхности шара S связана с его радиусом R соотношением S=4πR2, то поверхностные плотности зарядов шаров будут равны:

Подставляя численные значения Q=1 нКл=10-9 Кл, R1=0,02 м и

R2=0,06 м, получаем σ1=49,8 нКл/м2 и σ2 =16,6 нКл/м2. Ответ:σ1=49,8 нКл/м2 , σ2= 6,6 нКл/м2.

Задача 3. Определить электроемкость С плоского слюдяного конденсатора, площадь S пластин которого равна 100 см2, а расстояние между ними равно 0,1 мм. Диэлектрическая проницаемость слюды ε =7,0.

Решение:

Электрическая емкость плоского конденсатора определяется по формуле:

C = εεd0S ,

где d - расстояние между пластинами, S - площадь пластин, ε - диэлектрическая проницаемость среды, ε0=8,85 10-12 Ф/м - электрическая постоянная. Используя численные значения задачи

S=10-2 м2 и d=10-4 м, получаем С=6,2 10-9 Ф.

Ответ: С=6,2 нФ.

Задача 4. Две концентрические металлические сферы радиусами R1=2 см и R2=2,1 см образуют сферический конденсатор. Определить его электроемкость С, если пространство между сфе-

36

рами заполнено парафином. Диэлектрическая проницаемость парафина ε =2,0.

Решение:

Электрическая емкость сферического конденсатора определяется по формуле

Используя численные значения задачи R1=0,020 см,

R2=0,021см и ε0=8,85 10-12 Ф/м, получаем С=93,3 10-12 Ф.

Ответ: С=93,3 пФ

Задача 5. Конденсаторы соединены так, как это показано на рисунке.

С1 С3

С2 С4

Электроемкости конденсаторов: C1=0,2 мкФ, C2=0,1 мкФ, C3=0,3 мкФ, C4=0,4 мкФ. Определить электроемкость C батареи конденсаторов.

Решение:

Конденсаторы C1 и C2 соединены параллельно, поэтому их эквивалентная емкость C′ равна C1+C2. Аналогично, эквивалентная емкость конденсаторов C3 и C4 равна C′′=C3+C4. Конденсаторы C′ и C′′ соединены последовательно и, следовательно, общая емкость батареи конденсаторов может быть определена из условия:

C1 = C1′ + C1′′ .

Выражая из последнего соотношения C и подставляя в результат C′ и C′′, находим окончательное выражение для емкости батареи:

37

Подставляя численные значения, получаем C =0,21мкФ . Ответ: C =0,21мкФ.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. Определить электроемкость С металлической сферы радиусом R=2 см, погруженной в воду. Диэлектрическая проницаемость воды ε =81. (Ответ: С=180 пФ.)

Задача 7. Шар радиусом R1=6 см заряжен до потенциала ϕ1=300 В, а шар радиусом R2=4 см - до потенциала ϕ2=500 В. Определить потенциал ϕ шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводника пренебречь. (Ответ: ϕ=380 В.)

Задача 8. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная пластинка ( ε = 7.0 ). Конденсатор заряжен до разности потенциалов U1 = 100 В. Какова будет раз-

ность потенциалов U2 , если вытащить стеклянную пластинку из

конденсатора?

. (Ответ:U2=700В)

Задача 9. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 1.33 мм, площадь S пластин равна 20 см2. В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды толщиной d1=0.7 мм и эбонита толщиной d2=0,3 мм. Определить электроемкость С конденсатора. Диэлектрические проницаемости слюды ε1 =7.0, эбонита ε2 =3.0, воздуха

ε3 =1.0. (Ответ: С=33.4 пФ.)

Задача 10. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ = .2 ìêìÊë2 . Расстоя-

ние d между пластинами равно 1мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния d между пластинами до 3мм? (Ответ: Δφ=45В.)

Задача 11. К воздушному конденсатору, заряженному до

38

разности потенциалов U=600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком из фарфора. Определить диэлектрическую проницаемость ε фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до U1=100 В.

(Ответ: ε=5.0.)

Задача 12. Два конденсатора электроемкостями C1=3 мкф и C2=6 мкф соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС E=120 В. Определить заряды Q1 и Q2 конденсаторов и разности потенциалов U1 и U2 между их обкладками, если конденсаторы соединены : 1) параллельно; 2) последовательно. (Ответ: 1)

Q1=360 мкКл, Q2=720 мкКл, U1=U2=120 В; 2) Q1=Q2=240 мкКл, U1=80 В, U2=40 В.)

Задача 13. Конденсатор электроемкостью C1=0.2 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1=320 В. После того, как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов U2=450 В, напряжение U на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость C2 второго конденсатора. (Ответ: C2=0.32 мкФ.)

Задача 14. Три одинаковых плоских конденсатора соединены последовательно. Электроемкость C такой батареи конденсаторов равна 89 пФ. Площадь S каждой пластины равна 100 см2 . Диэлектрик - стекло с диэлектрической проницаемостью ε=7.0. Какова толщина d стекла? (Ответ: d=2.32 мм.)

Задача 15. Конденсаторы электроемкостями C1=10 нФ, C2=40 нФ, C3=20 нФ и C4=30 нФ соединены так, как это показано на рисунке.

C1 C2

Определить электроемкость C батареи. (Ответ: C=20 пФ.)

39

Тема 4. Диэлектрики в электрическом поле. Энергия электрического поля.

Примеры решения задач.

Задача 1. Вычислить электрический момент p диполя, если его заряд Q=10 нКл, плечо l =0,5 см.

Решение:

Вектором электрического момента диполя p называется произведение заряда |Q| (взятого по модулю) на плечо l. Вектор l направлен от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду. Поэтому, длина вектора дипольного момента p равна произведению Ql. Подставляя численные значения Q=10-8 Кл и l=5.10-3 м , получаем p=5 10-8 Кл м.

Ответ: p=50 нКл м.

Задача 2. Определить напряженность Е и потенциал ϕ поля, создаваемого диполем с электрическим моментом р=4 пКл м на расстоянии r=10 см. от центра диполя, в направлении, составляющем угол α=600 c вектором электрического момента.

Решение:

Напряженность поля диполя определяется выражением:

а потенциал электрического поля в этой же точке пространства равен:

ϕ = 4πεpεr2 cosα .

0

Используя численные значения задачи, получаем E= 47,6

В/м и ϕ=1,8 В.

Ответ: E=47,6 В/м, ϕ=1,8 В.

Задача 3. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов U=1.8 кВ. Диэлектрик - стекло с диэлектрической проницаемостью ε=7.0. Определить ди-

40

электрическую восприимчивость χ стекла и поверхностную плотность σ’ связанных (поляризационных) зарядов на поверхности стекла.

Решение:

Диэлектрическая проницаемость ε связана с диэлектрической восприимчивостью χ соотношением:

ε = 1+χ.

Поэтому χ=6,0. Поверхностная плотность σ’ связанных зарядов на границе стекла равна нормальной (перпендикулярной к поверхности диэлектрика) компоненте вектора поляризации P, который, в свою очередь, определяется через вектор напряженности электрического поля в диэлектрике E с помощью соотношения:

P = χε0E ,

где ε0 - электрическая постоянная. Напряженность же электрического поля внутри конденсатора равна:

E = εUd .

В нашем случае длина нормальной компоненты вектора поляризации равна длине всего вектора P, так как последний перпендикулярен к границе раздела. Поэтому, выражение для поверхностной плотности связанного заряда имеет вид:

мкКл/м2 .

Ответ: χ=6,0 и σ’=47,7 мкКл/м2 .

Задача 4. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 0,2 см, разность потенциалов U=6 кВ. Заряд Q каждой пластины равен 10 нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин.

Решение:

Энергия заряженного конденсатора определяется по любой из следующих трех формул: