chast_2_zadachi

71

где Φ=BS=BScosα ,

(α - угол между направлением магнитного поля B и направлением вектора S, перпендикулярного к плоскости рамки). Тогда, для ЭДС индукции получаем формулу Ei=BSsinα dα/dt. Отсюда вытекает, что Edt=BSsinα dα. Интегрируя это уравнение, находим:

∫Eidt = BS ∫sinαdα .

0π /2

Сучетом полученного соотношения, для среднего значения

ЭДС индукции имеем окончательное выражение:

Здесь знак минус определяет направление индукционного

тока.

Ответ: <Ei>=0.16 В.

Задача 4. С помощью реостата равномерно увеличивают силу тока в катушке на I =0,1 А в 1 с. Индуктивность L катушки равна 0,01 Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции <Esi>.

Решение Среднее значение ЭДС самоиндукции определяется выра-

жением:

<Esi> =1 ∫t Esidt .

t 0

ЭДС самоиндукции связана с током, протекающим через катушку, выражением:

Esi = - L dIdt .

Из этого выражения следует, что Esidt=-LdI. Интегрируя это соотношение, для среднего значения ЭДС самоиндукции получаем выражение:

72

Ответ: <Esi>=-1 мВ.

Задача 5. Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода и прямоугольной рамки со сторонами a и b. Рамка и провод лежат в одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длиной b параллельна проводу и отстоит от него на расстояние l.

дуктивности рамки и прямого провода. Следовательно, L12=Φ/I. Найдем поток Φ, пронизывающий рамку. Поток через участок рамки шириной dx по определению равен dΦ=BdS=Bbdx, где

B(x)= 4μπ0 2xI - индукция магнитного поля, созданного прямым то-

ком I, на расстоянии x от провода. После интегрирования по всей ширине рамки получаем выражение для полного потока через рамку:

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной l=10 см. Ось вращения проходит че-

73

рез один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения n=16 с-1. (Ответ: U

=201 мВ.)

Задача 7. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,35 Тл равномерно с частотой n=480 мин-1 вращается рамка, содержащая N=500 витков площадью S=50 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции Ei max , возникающую

в рамке. (Ответ: Ei max=44 В.)

Задача 8. Рамка площадью S=100 см2 содержит N=103 витков провода сопротивлением R1=12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление R2=20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (B=0,1 Тл) с частотой n=8 c-1. Определить максимальную мощность Pmax переменного

тока в цепи. (Ответ: Pmax=79Вт)

Задача 9. Проволочный виток радиуса r=4 см с сопротивлением R=0,01 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией B=0,04 Тл. Плоскость рамки составляет угол α=300 с линиями индукции поля. Какое количество электричества Q протечет по витку, если магнитное поле исчезнет ? (Ответ: Q=10 мКл.)

Задача 10. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. По цепи протекло количество электричества Q=10 мкКл. Определить магнитный поток Φ, пересеченный кольцом, если сопротивление R цепи гальванометра равно 30 Ом. (Ответ: Φ=0,3 мВб.)

Задача 11. Рамка из провода сопротивлением R=0,01 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В=0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции. Площадь рамки S=100 см2. Найти, какое количество электричества Q протечет через рамку за время поворота ее на угол α=30° в следующих трех случаях: 1) от α0=0

до α1=30°; 2) от α1 до α2=60°; 3) от α2 до α3=90°. (Ответ: Q1=25 мКл, Q2=18,3 мКл, Q3=7 мКл.)

Задача 12. Тонкий медный провод массой m=1 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в одно-

74

родное магнитное поле (В=0,1 Тл) так, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества Q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. (Ответ:

Q=41 мКл.)

Задача 13. Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой ν= 50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определить среднюю ЭДС самоиндукции <Esi>, возникающую за интервал времени t, в течение которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального значения. Амплитудное значение силы тока I0=10 А. (Ответ:

<Esi>=4 В.)

Задача 14. Индуктивность L соленоида длиной l=1 м, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь S сечения соленоида равна 20 см2. Определить число n витков на каждом сантиметре длины соленоида. (Ответ: n=8 см-1.)

Задача 15. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой I/ t=5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индукции Ei=0,1 В. Определить коэффициент L12 взаимной индукции катушек. (Ответ: L12=20 мГн. )

Тема 10. Энергия магнитного поля. Электромагнитные колебания.

Примеры решения задач.

Задача 1. Конденсатор, емкость которого C=500 пФ, соединен параллельно с катушкой индуктивности длиной l=40 см и площадью сечения S, равной 5 см2. Катушка содержит N=1000 витков. Сердечник немагнитный. Найти период T колебаний.

Решение:

Период T находим, используя формулу Томсона T = 2π LC , где L - индуктивность катушки. Индуктивность катушки (соленоида) равна L= μμ0n2lS, где n - число витков на единицу длины обмотки, то есть n=N/l. Так как по условию задачи сердечник немагнитный, то μ=1. Окончательно имеем:

Подставляя численные значения, получаем T=5,57 мкс. Ответ: Т=5,57 мкс.

Задача 2. Изменение со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре имеет вид: U=50 cos(104πt) (значения всех величин указаны в системе СИ). Емкость конденсатора равна C=0,1 мкФ. Найти период T колебаний, индуктивность L контура, и длину волны λ, соответствующую этому контуру.

Решение:

В колебательном контуре без затухания напряжение на конденсаторе и ток в цепи изменяются по гармоническому закону. Если время отсчитывать от момента, когда напряжение на конденсаторе максимально, то можно записать U=U0cosωt, где U0 - амплитуда, ω − круговая частота. Из сравнения этого выражения с зависимостью, приведенной в условии задачи, получаем ω=104π. Так как круговая частота и период связаны соотношением T=2π /ω, то, после подстановки чисел, получаем T=2 10-4 с. Индуктивность контура L найдем, используя формулу Томсона T = 2π LC , откуда L=T2/4π2C. Длину волны, соответствующую найденному периоду, находим из выражения λ=cT, где c - ско-

рость света. Подставляя численные значения, находим L = 4 10- 8/(4π210-7)=0,01 Гн., λ=3 108 2 10-4=6,104 м.

Ответ: T=2 10- 4 с, L=0,01 Гн, λ=60 км.

Задача 3. Соленоид длиной l=50 см и площадью поперечного сечения S=2 см2 имеет индуктивность L=2 10−7 Гн. При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля w внутри соленоида равна 10-3 Дж/м3?

Решение:

Полная энергия магнитного поля контура дается выражени-

ем:

W = LI2/2,

76

где L - индуктивность соленоида, I - ток, протекающий по контуру. Объемная плотность энергии поля по определению равна:

w=W/V.

Здесь V - объем пространства внутри контура. Объем пространства, заключенного внутри соленоида, равен V=Sl. Следовательно, для объемной плотности энергии имеем соотношение:

w = 1 LI 2 .

2 Sl

Отсюда получаем окончательное выражение для искомой силы тока:

Ответ: I=1 А.

Задача 4. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет n=10 витков на каждый сантиметр длины. Определить плотность энергии w поля, если по обмотке течет ток I=16 А.

Решение:

Объемная плотность энергии однородного магнитного поля дается выражением:

w= B2 .

2μ0μ

Индукция магнитного поля тороида находится как B=μ0μnI. Тогда, для искомой плотности энергии поля получаем следующее

выражение:

w=μ0μn2I2/2 =161,3 Дж/м3.

Здесь учтено, что т. к. сердечник немагнитный, то μ=1.

Ответ: w=161,3 Дж/м3.

Задача 5. На тор из магнетика намотано N=500 витков провода. Найти энергию магнитного поля, если при токе I=2 А магнитный поток через сечение тора равен Φ=1 мВб.

Решение:

Проводник с индуктивностью L, по которому протекает ток

77

I, обладает энергией W=LI2/2, которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле. Полный магнитный поток через контур, то есть потокосцепление, создаваемый протекающим по нему током, равен Ψ=LI, где Ψ=NΦ. Следовательно, LI=NΦ. Отсюда находим, что L=NΦ/I. Тогда, для искомой энергии магнитного поля окончательно получаем выражение:

W= 12 NΦI =0,5 дЖ

Ответ: W=0,5 дЖ.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. По обмотке соленоида индуктивностью L=0,2 Гн течет ток I=10 А. Определить энергию W магнитного поля соленоида. (Ответ: W=10 Дж.)

Задача 7. Соленоид содержит N=1000 витков. Сила тока I в его обмотке равна 1 А, магнитный поток Ф через поперечное сечение соленоида равен 0.1 мВб. Вычислить энергию W магнитного поля соленоида. (Ответ: W=50 мДж.)

Задача 8. Катушка индуктивностью L=1 мкГн и воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром D=20 см каждая, соединены параллельно. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Определить период T колебаний. (От-

вет: T =33,2 нс.)

Задача 9. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью S=100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L=1 мкГн, резонирует на волну длиной λ=10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора. (Ответ: d=3.14 мм.)

Задача 10. Уравнение изменения со временем тока в колебательном контуре имеет вид I=-0,02sin(400πt) (значения всех величин указаны в системе СИ). Индуктивность контура равна L=1 Гн. Найти период T колебаний, емкость C контура, максимальную энергию Wм магнитного поля и максимальную энергию Wэл электрического поля. (Ответ: T=5 мс; C=0,63 мкФ; Wм=0,2

мДж; Wэл=0,2 мДж.)

78

Задача 11. Найти отношение энергии Wм/Wэл магнитного поля колебательного контура Wм к энергии его электрического поля Wэл для момента времени t=T/8, где T - период колебаний.

I=I0sin(ωt), где I0=5 А, T=0,02 с. Найти зависимость от времени энергии магнитного поля W(t) катушки. (Ответ:

W(t)=0,263sin2(100πt) Дж.)

Задача 13. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L=0,2 Гн и конденсатора емкостью C=20 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения U0=4 В. Какими будут ток I, напряжение U и заряд Q в моменты времени, когда отношение энергии электрического и магнитного поля Wэл/Wм равно 1/2 ? (Ответ: I=-3,24 10-2А, U=-2,35 В, Q=4,7 10-5 Кл.)

Задача 14. Какую индуктивность L надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости C=2 мкФ получить часто-

ту ν=1000 Гц? (Ответ: L=12,7 мГн.)

Задача 15. Катушка с индуктивностью L=30 мкГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин S=0,01 м2 и расстоянием между ними d=0,1 мм. Найти диэлектрическую проницаемость ε среды, заполняющей пространство между пласти-

79

80

Инна Альбертовна Анищенко Анатолий Андреевич Задерновский Михаил Митрофанович Зверев Борис Владимирович Магницкий Юрий Константинович Фетисов Андрей Юрьевич Пыркин Лидия Владимировна Соломатина.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Учебное пособие