4.) Математические модели описания социально-экономических и политических процессов: общие подходы и примеры моделей.

Под математической моделью понимается совокупность математических выражений, описывающих процесс и те условия (возмущения, ограничения), в которых он протекает. В свою очередь, в зависимости от используемого математического аппарата выделяют следующие виды математических моделей:

• статические и динамические;

• детерминированные и вероятностные;

• аналитические и численные.

Математический аппарат описания

При построении математических моделей рассматриваемых процессов инертность следует понимать двояко:

• как сохранение в основных чертах взаимосвязей прогнозируемых параметров с другими параметрами;

• как сохранение общей тенденции изменения параметров (темпов, направления, колебаемости основных количественных показателей) во времени.

Наличие инерционности первого вида позволяет представлять процесс в виде аналитического выражения, которое связывает изменение результирующего показателя с изменением ряда факторов, влияющих на него, т.е. поиску по выражению: .Зависимости такого типа получили название уравнений регрессии либо моделей производственных функций.

Инерционность второго вида позволяет подобрать аналитическую зависимость изменения наблюдаемого процесса во времени, т.е. определяется выражение типа Эти зависимости относятся к классу трендовых моделей.

рассмотрим основные законы изменения известных в математике функций времени: многочленов, различного рода экспонент, логистических кривых.

Аналитические выражения многочленов имеют следующий вид (рис. 1.11):

• —первая степень;

• —вторая степень;

• —третья степень.

В представленных многочленах параметры имеют конкретную физическую интерпретацию:

• —скорость роста;

• —ускорение роста;

• —изменение ускорения;

• —исходный уровень ряда.

К числу наиболее часто используемых уравнений тренда для математического описания социально-экономических и политических процессов относятся следующие монотонно изменяющиеся кривые:

• —простая экспоненциальная кривая;

• —модифицированная экспонента;

• —логарифмическая парабола;

• —степенная функция;

• —гиперболическая кривая I типа;

• —гиперболическая кривая II типа;

• —гиперболическая кривая III типа.

Производственные функции

Экономические процессы, как правило, описываются с использованием математического аппарата производственных функций, где в качестве аргументов используются труд (), капитал (), ресурсы (). Тогда совокупный продукт¹есть функция затрат:. Обратные математические зависимости,,принято называтьфункциями производственных издержек. Первые успешные результаты построения производственных функций относятся к 1929 г. Американские ученые Ч. Кобб и экономист П. Дуглас — предложили описывать взаимосвязь выпуска продукции с величинами производственных фондов (капитала)и затратами живого трудав виде произведения степеней.

Модель Солоу

В модели Солоу экономика рассматривается как замкнутое единое неструктурированное целое, производит один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Она базируется на пяти макроэкономических показателях:

• —валовой внутренний продукт (ВВП);

• —валовые инвестиции;

• —фонд потребления;

• —основные производственные фонды (ОПФ);

• —число занятых в производственной сфере.

Модель Солоу задается системой уравнений:

,

где считаются заданными.

Модель гонки вооружений Ричардсона

Одной из самых известных моделей политических процессов является модель Ричардсона, суть которой с содержательной точки зрения заключается в следующем. Процесс втягивания государств в военный конфликт объясняется гонкой вооружений: действия одной стороны вызывают ответные действия другой, что в свою очередь побуждает первую вновь наращивать силу, и так далее, пока процесс не выйдет на эскалационную траекторию.

Математическая постановка задачи представляется системой уравнений:

Угроза формализуется в объеме военных расходов (), которые имеет та или иная сторона. Однако государство несет бремя расходов по решению социальных проблем и не может переориентировать всю экономику на производство продукции ВПК. Вместе с тем существуют и прошлые обиды (), влияющие на общий уровень вооружений.

Модель мобилизации

Под процессом социальной мобилизации понимается вовлечение людей в число сторонников какой-либо идеи, партии, движения и т.п. Текущий уровень мобилизации тесно связан ее прошлым уровнем, а будущая мобилизация зависит от настоящих успехов пропагандистской кампании.

Математически процесс можно выразить следующим образом:

1) Пусть — доля мобилизованного населения на момент времени. Тогда доля немобилизованного населения, при условии, что общее количество принимается равным единице, будет равна.

2) За некоторое время уровень мобилизации может измениться по двум основным причинам. Во-первых, часть населения удалось привлечь дополнительно: , где— коэффициент агитируемости. Во-вторых, часть населения убыла по различным причинам:, где— коэффициент выбытия. Числовые параметрыиотражают пропорциональное изменение интересов, взглядов и намерений соответствующих частей населения.

Обобщая высказанные допущения изменения уровня мобилизации можно выразить следующим образом:

.

Некоторые преобразования позволяют представить рассмотренное соотношение в другом виде:

.