26. Отношение включения. Пустое множество. Множество–степень. Парадокс Бертрана Рассела и его значение.

• Множество A есть подмножество множества B (обозначается A⊆B), если каждый элемент A есть элемент B; т.е. если x∈A, то x∈B. Отношение ⊆ между множествами называется отношением включения.

• В частности, каждое множество есть подмножество самого себя. Если A не является подмножеством B, то, значит, существует элемент A, не принадлежащий B.

• Следовательно, {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}, но {1, 2, 5} не является подмножеством {1, 2, 3, 4}.

• Если A = {x| x – футболист факультета}, B = {x| x – спортсмен факультета}, а C = {x| x – самый сильный математик

факультета}, то A⊆B, а C не является подмножеством B.

• Заметим, что: а) X⊆X; б) если X⊆Y, Y⊆Z, то X⊆Z; в) если X⊆Y и Y⊆X , то X=Y.

• Множество A есть собственное подмножество множества B (обозначается A⊂B), если A⊆B и A≠B. Если A не является собственным подмножеством B, то это означает, что либо A=B, либо существует элемент A, не принадлежащий B. Отношение ⊂ между множествами называется отношением строгого включения.

• Пример. Пусть A обозначает множество четных чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел, а C – множество комплексных чисел. Тогда выполняются строгие включения A⊂Q, Q⊂R, R⊂C.

• Очевидно, если X⊂Y, Y⊂Z, то X⊂Z.

• Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Например, имеем {1}∈{{1}} и {1} не является подмножеством {{1}}, с другой стороны 1∉{{1}}, так как единственным элементом множества {{1}} является {1}.

• Теперь мы можем утверждать, что доказательство равенства множеств A и B состоит из двух этапов: Доказать, что A есть подмножество B. Доказать, что B есть подмножество A.

• Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅.

• Пустое множество есть подмножество любого множества. Очевидно, что пустое множество задается тождественно ложным характеристическим свойством, и соответственно все пустые множества равны. Поэтому считается, что множество квадратных кругов равно множеству белых ворон.

• Множество всех подмножеств A называется множеством-степенью и обозначается P(A).

• Из определения следует, что X∈P(A), тогда и только тогда, когда X⊆A.

• Пример. Если A = {1,2,3}, то P(A) = {∅, {1}, {2},{3},{1, 2}, {1, 3}, {2,3}, A}.

• В дальнейшем неоднократно будем пользоваться утверждением, что если множество A состоит из n элементов, то множество P(A) состоит из 2n элементов.

Парадоксы в теории множеств

• В 1879 году итальянский логик Бурали-Форти, а немного позже выдающийся философ и логик Бертран Рассел (1872-1970) открыли парадоксы, связанные с интуитивным канторовским понятием множества.

• В математике рассматривается одна теория – теория множеств, которая длительное время претендовала на выразимость в ней всех математических понятий. В ней пытаются базироваться на одних лишь множествах, и тогда ее универсум должен быть множеством всех множеств.

• Но выяснилось, что принятие существования множества всех множеств приводит к парадоксам.

• Парадокс Б. Рассела (парадокс брадобрея)

Одна из аксиом «наивной» теории множеств: если X – множество, то для любого условия A имеем {x | x ∈ X & A(x)} – также множество.

Выберем теперь свойство A следующим образом A(x) – «x содержит себя в качестве элемента». Примером множества, обладающего свойством A, служит, например, множество всех бесконечных множеств. Если обозначить через U универсум – множество всех множеств, то тогда можно определить множество Y = {x | x ∈ U & ¬A(x)} = {x | x∈U & x∉x}.

Спрашивается, выполняется ли Y∈Y или Y∉Y? Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Для устранения таких противоречий и парадоксов для теории множеств были предложены аксиоматические системы. Наиболее известны системы:

• Цермело–Френкеля–фон Неймана,

• Гильберта–Бернайса–Гёделя.

• Рассела–Уайтхеда.

Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика. Математики вышли из затруднительного положения как всегда с честью, но не без потерь и хитростей: было просто принято, что множества всех множеств нет и универсум теории множеств сам множеством не считается.