ALGEBRA

Таким образом, каждое собственное число λ линейного оператора A является корнем характеристического уравнения (7.21). И наоборот, если некоторое число λ1 является корнем уравнения (7.21), то при этом значении λ = λ1 система (7.18), т.е. система:

(Ae¯ − λ1E) · (x1, x2, . . . , xn)T(e¯) = (0, 0, . . . , 0)T .

(7.22) имеет ненулевые решения, каждое из которых

задаёт вектор x¯ = (x1, x2, . . . , xn)T(e¯) удовлетворяющий соотношению (7.17) при λ = λ1, т.е. вектор x¯ является собственным вектором соответствующим собственному числу λ1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Чтобы описать всё множество собственных векторов соответствующих собственному чис-

лу λ1, построим фундаментальную систему решений системы (7.22), т.е. такую совокуп-

ность линейно независимых собственных векторов соответствующих собственному числу

λ1, что любой собственный вектор соответствующий собственному числу λ1 будет ли-

нейной комбинацией векторов, вошедших в эту совокупность.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из основной теоремы алгебры, следует, что алгебраическое уравнение n-ой степени с коэффициентами из C имеет ровно n решений в C. Eсли же коэффициенты алгебраическо-

го уравнения n-ой степени из R, то возможны три случая:

1. все n решений принадлежат R

(x2 − 1 = 0, x1 = 1, x2 = −1);

2. все n решений не принадлежат R

(x2 + 1 = 0, x1 = i, x2 = − i);

3. часть решений принадлежит R

(x4 − 1 = 0, x1 = 1, x2 = −1, x3 = i, x4 = − i).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из сказанного следует, что любой линейный оператор A : Ln → Ln имеет не более n различных собственных чисел, которые являются решениями алгебраического уравнения (7.21), но только действительные решения уравне-

ния (7.21) есть собственные числа оператора

A : Ln → Ln.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Поэтому поставленную задачу нам удалось решить только частично.

Полное решение этой задачи сложное:

для этого нужно обобщить определение ли-

нейного пространства, заменив вещественные числа комплексными;

изменить определение собственного числа линейного оператора, предполагая, что собствен-

ными числами могут быть и комплексные числа.

Полное решение проблемы можно найти в [4].

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 85. Число λ R называется

собственным числом, а ненулевой вектор x¯ Rn – собственным вектором, соответствующем собственному числу λ, матрицы

A Mnn(R), если они связаны между собой соотношением: Ax¯ = λx¯.

Собственные вектора матрицы

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 143. Фиксируем в линейном пространстве R3 канонический базис. Линейный оператор A : R3 → R3 действует по закону:

T Ax¯ = (−x1 − 2x2 + 2x3, x2, x3)T ,

где x¯ = (x1, x2, x3)T .

а) Запишите матрицу линейного оператора A в каноническом базисе.

б) Найдите собственные числа и собственные векторы оператора A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение a): Действуя линейным оператором A на базисные вектора канонического базиса, получим:

Ae¯1 = (−1, 0, 0)T ,

Ae¯2 = (−2, 1, 0)T ,

Ae¯3 = (2, 0, 1)T .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Записываем матрицу линейного оператора A в каноническом базисе:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение б):

Запишем характеристическое уравнение:

Вычисляя определитель, получим:

−(1 + λ)(1 − λ)2 = 0.

Решая уравнение, находим собственные числа:

λ1 = −1, λ2,3 = 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit