4.2 Для корней λ2,3 = 5 строим ортонормированный базис линейного пространства решений системы
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ |
(e¯) |
|
λ |
E |
|
x |
2 |
|
= |
|
0 |
|
, т.е. системы |
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
− |
2 |
|
x |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
0 |
|
(9.2) |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
. |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решая систему методом Гаусса, получим
|
− |
1 |
|
1 |
− |
2 |
|
|
1 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
1 1 2 ! . |
|
|
− |
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда |
|
2t |
x |
|
= t |
− |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
общее решение системы (9.2). |
x |
|
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
= t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Строим фундаментальную систему решений:
a¯1 = (1, 1, 0)T , a¯2 = (−2, 0, 1)T – базис в пространстве решений системы (9.2), но не орто-
нормированный базис.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Методом ортогонализации Шмидта построим ортонормированный базис пространства реше-
ний системы (9.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
+ a¯2 |
|
|
¯ ¯ |
Положим b1 |
= a¯1, b2 |
|
= βb1 |
и (b1, b2) = 0. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β = |
|
(a¯1, a¯2) |
= |
|
|
|
−2 |
= 1 и ¯b |
= ( |
|
1, 1, 1)T . |
−(a¯1, a¯1) |
|
− |
|
|
|
|
− |
2 |
|
2 |
|
|
|
Итак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = |
|
|
|
|
|
1 |
|
, f = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
√2 |
|
|
|
|
|
3 |
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортонормированный базис пространства решений системы (9.2).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
¯ |
1 |
|
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
|
|
¯ |
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f = |
|
|
|
|
|
1 |
|
, f = |
|
|
|
|
1 |
|
, f |
3 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
√6 |
|
− |
|
|
2 |
√2 |
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– ортонормированный базис (канонический базис квадратичной формы ψ ). 6. Записываем ортогональную матрицу преобразования координат:
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
√ |
6 |
|
√ |
2 |
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
√2 |
√3 |
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
¯ |
1 |
|
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
|
|
¯ |
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f = |
|
|
|
|
|
1 |
|
, f = |
|
|
|
|
1 |
|
, f |
3 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
√6 |
|
− |
|
|
2 |
√2 |
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– ортонормированный базис (канонический базис квадратичной формы ψ ).
6. Записываем ортогональную матрицу преобразования координат:
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
√ |
6 |
|
√ |
2 |
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
√2 |
√3 |
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
7. Записываем выражения “старых” координат произвольного вектора x¯ = (x1, x2, x3)T(e¯) через “новые” x¯ = (y1, y2, y3)T(f¯):
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
√ |
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e¯) |
|
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и наоборот
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
√ |
2 |
√3 |
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y |
3 |
|
¯ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
y |
1 |
|
|
|
|
√ |
6 |
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
¯ |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
x |
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
(e¯) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Глава 10
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть фиксированы плоскость π и декартова система координат (O,~ı,~|) в V2(π).
Использование системы координат позволяет линии на плоскости сопоставить её уравнение.
Под уравнением линии понимают такое уравнение F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты (x, y) любой точки M(x, y), лежащей на этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
10.1.Прямая на плоскости
Задача 1. Найти уравнение прямой П, проходящей через данную точку M0(x0, y0) перпендикулярно вектору ~n = (A, B).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
