ALGEBRA

Совершим параллельный перенос координат-

гда относительно системы координат (O , w, z) уравнение (11.4) имеет вид

w2 = − aez.

Последнее уравнение является каноническим уравнением параболы с параметром p = − 2ea.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.3) Пусть a = 0, c 6= 0, d = 0. Тогда уравнение (11.1) имеет вид

cv2 + ev + F = 0,

Eсли 4ec22 − Fc ≥ 0, то кривая второго порядка распадается на пару параллельных прямых.

Eсли же 4ec22 −Fc < 0, то последнему уравнению не удовлетворяет ни одной точки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.4) Пусть a = 0, c 6= 0, d 6= 0. Тогда уравнение (11.1) имеет вид

cv2 + du + ev + F = 0,

т.е.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Совершим параллельный перенос координат-

гда относительно системы координат (O , w, z) уравнение (11.5) имеет вид

z2 = − dcw.

Последнее уравнение является каноническим уравнением параболы с параметром p = − 2dc.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Таким образом, кривая второго порядка, определяемая в базисе, состоящем из главных осей квадратичной формы

Ax2 + 2Bxy + Cy2,

уравнением

au2 + cv2 + du + ev + F = 0,

в котором ac = 0, либо является параболой, либо распадается на пару параллельных прямых, либо уравнению не удовлетворяет ни одной точки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

На втором этапе, выделяя полные квадраты и производя преобразование параллельного переноса начала O системы координат в новую точку O , получаем каноническое уравнение кривой второго порядка.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Далее находим координаты нового начала O

в старой системе координат и строим в старой системе координат новую систему координат.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Потом в новой системе координат по кано-

ническому уравнению кривой второго порядка строим кривую.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 235. В линейном пространстве V2(π) фиксирована правая декартовая система координат (O,~ı,~|). Дана кривая:

T 14x2 − 4xy + 11y2 + 28x − 4y − 16 = 0.

(11.6) В пространстве V (π) постройте новую

Иправую декартову систему координат, в которой уравнение заданной кривой приймет канонический вид. На черте-

же изобразите старую и новую системы координат и кривую.2

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Приводим квадратичную форму

B(x, y) = 14x2 − 4xy + 11y2

к главным осям.

Запишем матрицу этой формы:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit