3.2.1. Итерационный метод

Рассмотрим задачу I:

. (3.1)

Обозначим через u* точное решение поставленной задачи (u* может быть числом, вектором, функцией).

Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению u* бесконечной рекуррентной последовательности элементов той же природы, что иu* (числа, векторы, функции).

Последовательность называется рекуррентной порядка m, если каждый следующий ее член выражается через m предыдущих по некоторому правилу  (алгоритму):

. (3.2)

Соответствующий итерационный метод называется m-шаговым. Для реализации m-шагового метода требуется задать m первых членов , называемыхначальным приближением. Зная начальное приближение, по формуле (3.2) последовательно находят .

Процесс получения следующего k-го члена через предыдущие называется k-й итерацией. Итерации выполняются до тех пор, пока очередной член u^k не будет удовлетворять заданной точности, т. е. Ввиду того, что точное решениеu^* заранее неизвестно, обычно сходимость метода определяют по близости двух последних членов, т. е. расчеты производят до тех пор, пока не выполнится условие где – некоторая заданная малая величина. В качестве искомого решения берут последний член последовательности u^k, при котором выполнилось указанное неравенство.

Простой итерационный метод для решения задачи (3.1) строится следующим образом.

Преобразуем задачу (3.1) к виду, разрешенному относительно неизвестного u. Это можно сделать бесконечным набором способов, чем и определяется многообразие итерационных методов. Например, можно преобразовать так:

. (3.3)

При этом точное решение (3.1) является и решением (3.3). Здесь  – произвольный параметр, который подбирается из условия сходимости итераций.

Используем выражение (3.3) в качестве рекуррентной формулы (m = 1):

.

Задав одно u⁰ (начальное приближение), последовательно находим u¹, затем u²,......u^k. Если полученная таким образом последовательность сходится к некоторому конечному пределу, то этот предел совпадает с точным решением u*.

Условие сходимости последовательности, задаваемой рекуррентной формулой определяется выполнением неравенства:

.

Чем ближе к нулю, тем быстрее сходится рекуррентная последовательность к точному решению и, следовательно, для получения решения с заданной точностью требуется меньше итераций.

3.2.2. Проекционный метод

Рассмотрим опять задачу I (3.1): .

Выберем в области определения U оператора L систему из первых N базисных элементов (не обязательно ортогональную) . Из условия полноты следует, что любой элементu  U может быть получен в виде:

.

Будем искать решение (3.1) в виде (_k известны, a_k – неизвестны):

. (3.4)

Подставим (3.4) в уравнение (3.1) и умножим скалярно на функцию _j , j=1…N, получим так называемую систему проекционных уравнений вида

Воспользуемся линейностью оператора L и преобразуем эту систему к стандартной системе линейных алгебраических уравнений

(3.5)

Матрица системы , вектор правых частей. Решая систему линейных уравнений, получаем искомый вектор коэффициентовв представлении (3.4).

Таким образом, применение проекционного метода сводит решение функциональной задачи (дифференциальной, интегральной) к решению системы линейных алгебраических уравнений.