Занятие 8

Исследование зависимости признаков методом корреляционного анализа. Ранговая корреляция.

1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Принятие решения о независимости наблюдений основывается на результатах проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции r (x, y), построенного по совокупности двумерных наблюдений. Величина коэффициента корреляции определяет степень тесноты линейной статистической связи между признаками. В случаях, когда

1. законы распределения изучаемых признаков непрерывны и отличаются от нормального,

2. изучаемые признаки являются неколичественными,

для получения вывода о коррелированности компонент X и Y двумерного распределения применяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена .

Коэффициентом ранговой корреляциии Спирмена (, ) двух случайных величин  и , являющихся моделями геохарактеристик, называется коэффициент парной корреляции между случайными величинами и, гдеи– ранги случайных величин и , значения которых упорядочены по возрастанию, (, ) =  (,).

Коэффициент (,) как мера зависимости случайных величин  и  обладает следующими свойствами: если случайные величины и равны, то (,) = 1, а если обратны, то (,) = –1; (,) не зависит от вида распределения случайных величин  и , а также не зависит от системы мер, т.е. для любой монотонной функции S() справедливо соотношение (S(),) =(,). Это делает коэффициент ранговой корреляциии Спирмена весьма полезным в качестве меры зависимости условиях нелинейной регрессии.

Рассмотрим вариационные ряды для признаков х и y: x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤…≤ иy₍₁₎ ≤ y₍₂₎ ≤…≤ . Обозначим: r () – ранги выборочных значений,r () – ранги выборочных значений(i = 1,…, n), =r () –r (),n – объем выборки.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена задается формулой

= 1 – . (8.1)

Если два ряда рангов равны, то разности = 0 (i = 1,…, n), и = 1. Если ряды рангов обратны, то = –1.

Исследуя зависимость между переменными X и Y , можно проверить следующие гипотезы:

Н₀ : = 0; случайные переменные X и Y статистически независимы,

Н₁ : ≠ 0; существует зависимость между двумя переменными.

Для проверки статистически значимого (при уровне α) отличия от нуля коэффициента ранговой корреляции необходимо сравнить вычисленное по формуле (8.1) значение с границей области отклонения нулевой гипотезы Н₀ (порогом теста уровня α). Рассматриваются два возможных случая.

1.1. Выборки малого объема (n < 30). Распределение не является нормальным. Значения квантилей (α, n) этого распределения для α = 0.05 и 5 ≤ n ≤ 30 приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значения квантилей (α, n) распределения коэффициента ранговой корреляции Спирмена (α = 0.05, двусторонняя альтернатива)

n	5	6	7	8	9	10	11	12		13	14
(α,n)	0.9000	0,8286	0,7450	0,7143	0,6833	0,6364	0,6091		0,5804	0,5549	0,5341

n	15	16	17	18	19	20	21	22	23
(α,n)	0,5179	0.5000	0,4853	0,4716	0,4579	0,4451	0,4351	0,4241	0,4150

n	24	25	26	27	28	29	30
(α,n)	0,4061	0,3977	0,3894	0,3822	0,3749	0,3685	0,3620

Решающее правило:

принимается гипотеза

Пример 1. Проверить на уровне значимости  = 0,05 гипотезу о статистической независимости двух переменных (Н₀: = 0) на основании данных (п = 7), приведенных в таблице:

X	Y	Ранг r ()	Ранг r ()	= r () –r ()
82 73 60 80 67 94 89	18 6 9 20 14 30 27	3 5 7 4 6 1 2	4 7 6 3 5 1 2	–1 –2 1 1 1 0 0	1 4 1 1 1 0 0

Вычислим = 8 и значение коэффициента ранговой корреляции по формуле (6.2.1): = 1 – /7(7² – 1) = 0,857. В связи с тем, что объем выборки п = 7 < 30, распределение не является нормальным. Поэтому по табл.6.2.1 находим критическое значение (0,05; 7)= = 0,7450.

Решающее правило:

принимается Н₀ , если –0,7450<<0,7450;

отклоняется Н₀ , если –0,7450 или 0,7450.

Значение коэффициента ранговой корреляции = 0,857 > 0,7450, это означает, что лежит в области отклонения Н₀ (принятия Н₁). Мы должны отклонить Н₀: = 0 и с уровнем доверия 0,95 сделать вывод о существовании связи между X и Y .

1.2. Выборки большого объема (n ≥ 30). Распределение статистики аппроксимируется нормальным распределением с нулевым средним и средним квадратическим отклонением 1/.

Статистика критерия z имеет вид:

z = ( – 0) / (1/) = .

Решающее правило:

принимается гипотеза

где – квантиль уровня 1 – α/2 стандартного нормального распределения.

Пример 2. Проверить на уровне значимости= 0,05 гипотезу о статистической независимости двух переменных (Н₀: = 0). Пустьп = 32, = – 0,922,= 0,05. Критическое значение в этом случае определяется как квантиль уровня 1 – α/2 =  1 – 0,05/2 = 0,975 стандартного нормального распределения:= 1,96. Статистика критерияz= – 0,922 = – 5,133. Так как > 1,96, тоН₀отклоняется на уровне значимости= 0,05, следовательно, между изучаемыми признаками существует отрицательная статистическая связь.

­­­­­­­­­­