19. Cтатистическая детерминированная модель без дефицита. Формула Уилсона.

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удов-е спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение ф-й r(t) и b(t). Пусть общее потребление запасаемого продукта за интервал времени θ=N. Рассмотрим модель в которой предполагается расходование запасов происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, ее можно найти b=N/θ(1). Пополнение заказа происходит партиями одинакого V, т.е. ф-я a(t)=0 кроме моментов когда а(t)=n где n-партии, т.к. интенсивность расхода b, то партия будет использоваться за время T=n/b.(2)

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание n хранения запасов были бы минимальны. Обозначим:

• Суммарные затраты через С

• Затраты на создание запасов С₁

• Затраты на хранение запасов С₂

Пусть затраты на доставку одной партии продукта не зависят от объема партии, а затраты на хранение одной единицы продукта в ед. времени т.к. за время θ необходимо запастись Nединицами продукта, ко-е доставляется партиями, то число таких партий k=N/n= θ/T (3) отсюда С₁=С₁*к=С₁*N/n.

Мгновенные затраты хранения запасов в момент времени t=C₂*J(t).

C_2.или учитывается выражение (2) получим =С₂*nT/2 из ф-лы (2) получаем, что затраты хранения запасов за промежуток времени θ равны:

С₂=. Нетрудно заметить, что затраты С₁обратно пропорциональны, а затраты С₂ прямо пропорциональны объему партии n. В точке миним. ф-я С(n) ее производная равна С’(n)=-=0. Откудаn=n₀=(5)или учитывая (1) получим чтоn₀=(4). Формула (4) наз. Уилсона или ф-ой наиболее экономичного объема партии. Эта формула м.б. получена др. способом, если учесть что произведенииθ*N.

Есть величина постоянная независящая от n, в этом случае сумма 2-х величин принимает наименьшее значение когда они равны, т.е. С₁=С₂. Или 6), из (5) следует что минимум общих затрат задач управления записями достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запасов. При этом минимальные суммарные затраты С₀=С₁(n₀)=.

Откуда учитывая (6) и (1) получим

θ. А с учетом (1)

.

Число партий за время θ равно

= θ.

время расхода оптимальны. Партии на основании с учетом (1)и (5) равно

или =

20.Статистическая детерминированная модель с дефицитом.

Это означает, что при отсутствии запасаемого продукт, J(t)=0 спрос сохраняется с той же интенсивностью rЄ(t)=b, но потребление запасов отсутствует b(t)=0 вследствии чего накапливается дефицит со скоростью b.

Каждый период T=n/b разбивается на 2 временных интервала, т.е. T=T₁+T₂, где T₁ время в течении которого происходит потребление запасов, T₂ время когда запас отсутствует и накапливается дефицит который будет перекрыт в момент поступления след. Партии. Необходимость покрытия дефицита приводит к тому , что максимальный уровень запаса S в момент поступления каждой партии теперь не равен V_n а меньше нее на величину дефицита (n-s), накопившегося за времяT_2. Тогда T₁=s/n*T, а T₂=(n-s)/n*T (1). В данный момент функ-ию суммарных запасов Снаряду с затратами С₁ необх-мо ввести затраты С₃на штрафы из-за дефицита, т.е.С=С₁+С₂+С₃. Затраты С₂при линейном расходе запасов равны на хранение среднего запаса, который за время потребления Т₁= ST/2. И затраты составляют

С₂=С₂ST₁/2, k=C₂SST/2n*θ/T=C₂S²θ/2n (2)

При расчете затрат С₃ будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени С₃, на каждую единицу продукта т.к. средний уровень дефицита за период Т₂ равен , то штраф за период Т₂ составит . А за весь период θ с учетом (2) получаем

=(3)

Теперь учитывая (2) (3) суммарные затраты равны

С=2С₁(4)

Формулы наиболее экономичного объема партии n₀ и максимального ур-ня запаса S₀для модели с дефицитом.

n₀==(5)

S₀==n₀^*(6)

Величина p=C₃/C₂+C₃ (7) называется плотность убытков из-за неудовлетворительного спроса и играет важную роль в управлении запасами.

Замечание: 0<=p<=1 если С₃ мало по сравнению с С₂, то p близко к 0. Когда С₃ значительно больше С₂, то p близко к 1.

Не допустить дефицита равносильно предположению, что С₃=бесконечность илиp=1. Используя формулы (5) и (6) можно записать:

n₀=;S₀= n₀*p (8)

плотность убытков из-за неудовлетворения спроса = p означает, что в течении (1-p)*100% времени от полного периода. Т запас продуктов будет отсутствовать.

Оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без него при одинаковых параметрах связана с соотношением:

n₀=(9), откуда вытекает что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда большеb/раз чем задачи без дефицита.