1.3. Векторное и смешанное произведение векторов

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум ГиА.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

530 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

cosϕ

AB AC

44 +80 −7

117

;

| AB | | AC |

3 6 13

234

cosϕ

AC CB

−77 +16 −86

= −

117

= −

;

| AC | | CB |

3 13 6 13

234

Ответ: ϕ

= 60°,

=120°.

№12. Зная длины векторов a =8 , b =5 и угол между ними ϕ =120°, вычислить

( a +3 b , − 2 a +b ).

Решение: ( a +3 b ,

− 2 a +b )= a ( − 2 a +b )+3 b ( − 2 a +b )= − 2 a 2 + a b − 6 a b +3 b 2 = − 2 a −5 a b +

+3 b = − 2 8	2 −5 8 5 cos120°+3 52 = −128 − 200 (−	1	) + 75	= 47.
		2

Ответ: 47 .

№13. С помощью скалярного проиведения найти координаты единичного вектора, ортогонального двум данным векторам a и b и образующего тупой угол с осью 0y .

a = (−1,2,−1) , b = (2,−7,1) .

Решение: e (x, y, z) .

a e = − x + 2y − z = 0; a e ; x = 2y − z;

b e = 2x −7 y + z = 0; b e ; 4y − 2z −7 y + z = −3y − z = 0; z = −3y;

e j =\| e \| \| j \| cosϕ = cosϕ < 0;						x = 2 y +3y = 5y;
e j = (x, y, z) (0,1,0) = y < 0;					e(5y, y,−3y) ;
\| e \| =1 = (5y)2 + y2 + (−3y)2 = 25y2 + y2 + 9y2 = 35y2 = 35 \| y \|= − 35y =1; y = −												1 .
e = − 1 (5,1,−3)			1				5 ,−	1		3		35
e = − 1 (5,1,−3)		=	1	(−5,−1,3) = (−			5 ,−	1	,	3	).
35			35				35	35		35
Ответ: e ( −	5	, −	1	,	3	).
	35		35		35

№14. Вычислить, какую работу производит сила F = (2,−1,−4) , когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M (1,−2,3) в положение N(5,−6,1) .

Решение: A = F S; MN = (4,−4,−2);

A = F MN = 2 4 +1 4 + 4 2 = 8 + 4 +8 = 20;

Ответ: 20 (единиц работы).

a(1,1,2), b(2,1,1), c(1,−2,3).

Решение: a b c =

= 3 −8 +1 − 2 + 2 −6 = −10,

№1. Вычислить [(2a −b),(a +3b)] , если a =3 , b = 2 , угол между a и b равен

60°.

Решение:

[(2a −b),(a +3b)] =[2a, (a + 3b)] −[b, a + 3b] =[6a,b] −[b, a] =[6a,b] +[a,b] = 7[a,b].

| 7[a,b] |2 = (7[a,b])2 = 49(| a | | b | sin 60°)2 = 49(3 2 3 )2 =

49 36 3

= 49 9 3 =1323.

Ответ:1323 .

№2. Даны векторы a (−4,−8,8) ,

b (4,3,2) .

Найти

векторное

произведение

[(2a −3b), (a + 4b)] .

Синус

угла

между

векторами

a и

b , площадь

параллелограмма, построенного по этим векторам.

Решение:

1. [(2a −3b), (a + 4b)] =[−3b, a] +[2a,4b] = 3[a,b] +8[a,b] =11[a,b].

−8

, -

− 4

−8

)=( −16 − 24,8 + 24,−12 +32) = (−40,40,20).

2. [a,b] =(

3. 11[a,b] = (−440,440,220).

sinα =

| (−40,40,20) |

4 + 4 +1

5 .

(−4)2 + (−8)2 +82

42 +32 + 22

4 1

+ 4 + 4 16 +

9 + 4

5. S=| [a,b] |= 20 4 + 4 +1 = 20

9 = 60.

Ответ: [(2a −3b), (a + 4b)] = (−440,440,220). , sin α =

, S = 60 .

№3. Дан

ABC ,

A(4,−14,8) ,

B(2,−18,12) , C(12,−8,12) . Найти длину высоты,

опущенной из вершины C на сторону AB .

Решение:

S ABC =

AB | hc ;

hc =

Sпар

;

AB |

AB = (−2,−4,4);

| AB |=

2 2 + 4 2

+ 4 2

= 2

1 + 4 + 4 = 2

9 = 6

ABC =

| [AB, AC] |=

| [BA, BC] |;

BC = (10,10,0);

BA = (2,4,−4);

ABC = 1

4 − 4 2

2 − 4 2

2 4 2

402 + 402 + (20 − 40)2

= 30;

10 0

1010

= 2

=10.

Ответ: 10 .

№4. Вычислить площадь

ABC ,

A(1,1) ,

B(2,3) ,

C(4,5) .

Решение:

S ABC =

−1 1

3 +10 − 4 −12 −5 + 2

−6

= 3.

Ответ: 3.

№5. Установить, компланарны ли векторы a ,b , c .

(1,2,−2) , b (1,−2,1) ,

(5,−2,−1) .

Решение:

1 способ. α a + β b +γ c = 0 , установить существуют ли ненулевые решения

(α, β,γ).

2 способ. a b c =	1	2	− 2		1	1	− 2
	1	2	− 2		1	1	− 2
	1	− 2	1	= 2	1	−1	1	= 2 (1 + 2 +5 −10 +1 +1) = 0.
	5	− 2	−1		5	−1	−1

Ответ: векторы компланарны.

№6. Вычислить объем параллепипеда, построенного на векторах a , b , c и установить, какой является тройка a , b , c (правой или левой).

Vпар =| a b c |=10,

Т.к. a b c < 0 , то {a,b, c} - левая тройка. Ответ: V =10 , тройка векторов { a , b , c } левая.

№7. Даны вершины тетраэдраABCD . Найти длину его высоты, опущенной из вершиныC . A(0,−2,5) , B(6,6,0) , C(3,−3,6) , D(2,−1,3) .

Решение: VABCD							=		1	Sh; где S = S ABD										- площадь основания, h - высота, опущенная
Решение: VABCD							=		3	Sh; где S = S ABD										- площадь основания, h - высота, опущенная
									3		3VABCD
из вершины C .							h =				3VABCD					;
из вершины C .							h =									;
												S
AB(6,8,−5),					AD(2,1,−2), AC(3,−1,1);
	1						1			8		−5					6 −5		6	8			1								1
S =		AB × AD				=								,−				,				=		(−16 +5,12 −10,6 −16)						=		(−11,2,−10)	=


	2							2		1 − 2							2 − 2		2 1			2									2
	2							2		1 − 2							2 − 2		2 1			2									2
= 1	121+ 4 +100 =								1			225 = 15 ;
2									2			2									AD и AC;
Построим параллелипипед на AB,																					AD и AC;
Vпар	= 2Sh = 6 3Sh = 6VABCD ;
VABCD =			1	6	8		−5						1													45		15
				6	8		−5
				2	1		− 2					=			6 +10 − 48 +15 −12 −16										=		=		;


	6			3	−1		1					6														6	2

h = 3VABCDS = 3 215 152 = 3.

Ответ: 3 .

№8. Даны векторы a (3,1,2), b (2,7,4), c (1,2,1). Найти [[a,b], c] и [a,[b, c]].

														2	,−		3			2			,		3	1			= (−10,−8,19);
											1


Решение: [a,b] =
											7			4			2			4					2	7
			−8									−										−				−8
						19			,−					10		19					,			10
						19								10		19								10
[[a,b], c] =																													= (−46,29,−12);
				2			1						1					1						1			2

	7	4			2			4			2			7
	7	4			2			4			2			7
[b, c] =				,−					,									= (−1,2,−3);
[b, c] =	2	1		,−	1			1	,		1			2				= (−1,2,−3);
	2	1			1			1			1			2

					2			,−		3					2			,		3				1				= (−7,7,7).
			1
			1
[a,[b, c]] =
			2 −			3					−1			−3					−1 2

Ответ: [[a,b],c] = (−46,29,−12) , [a,[b, c]] = (−7,7,7).

1.4. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица, системы линейных уравнений в матричной форме. Ранг матрицы. Элементарные преобразования и вычисление ранга. Метод окаймляющих миноров. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Метод Гаусса

	2	5	7				r	r	3
	6	3	4	. Найти A	−1	r	r	r	−1
№7. A =	6	3	4	. Найти A		. Решить систему ЛАУ Ax = b , где b =			−1	.
	5	−2	−3						−2
	5	−2	−3						−2

Решение:

1.прибавим ко второй строке первую, умноженную на –3; прибавим к третьей строке первую, умноженную на –2прибавим к первой строке первую, умноженную на –2.

2 5 7

2 5

0 27

6 3 4

−12

−17

0 −12

−17

+ 41 12

= 33.

= 27(−17)

5 −2 −3

1 −12 −17

1 −12

−17

= −18 −84 +100 −105 +16 +90 = −1 ≠ 0.

3 4

= −9 +8

= −1.

−2 −3

= −

= −(−18 − 20) = 38 .

−3

6 3

= −12 −15

= −27 .

−2

A21 = −

= −(−15 +14) =1.

−2

−3

A22 =	2 7			= −6 −35 = −41.
	5		−3
A23 = −	2		5	= −(−4 − 25) = 29 .
A23 = −	2		5	= −(−4 − 25) = 29 .
	5		−2
A31 =		5 7		= 20 − 21 = −1.
A31 =		5 7		= 20 − 21 = −1.
		3	4
A32 = −		2	7	= −(8 − 42) = 34.
A32 = −		2	7	= −(8 − 42) = 34.
		6	4

					A33 = −			2 5				= 6	−30 = −24 .
								6		3
				−1			1			−1				1		−1	1
		A	−1		38	−41				34				−38		41	−34
		A		= −	38	−41				34			=	−38		41	−34	.
					−27		29			−24				27		−29	24
					−27		29			−24				27		−29	24
	−1r	3		1	−2		−2
r	−1r	−114		−41	68				−87
x = A	b =	−114		−41	68	=			−87
		81		29	−48				62
		81		29	−48				62
Ответ: (–2, –87, 62)Т.
№8. Найти ранг матрицы							1			1		−1		1	2
							1			1		−1		1	2
							2 −1 3 −4 0
					A =		2 −1 3 −4 0									.
							4			1	1		−2		4
							4			1	1		−2		4
							5			2	0		−4		6

Решение: 1 способ.

11 = −1− 2 ≠ 0 .

2−1

Рассмотрим окаймляющие миноры

	1	1	−1		1	1	−1
	1	1	−1		1	1	−1
3,3:	2	−1	3	=	0	−3	5	= 0
	4	1	1		0	−3	5

прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -4 соответственно (две одинаковые строки).

прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -5 соответственно

	1	1	−1		1	1	−1	= 0.
	1	1	−1		1	1	−1
4,3	2	−1	3	=	0	−3	5
	5	2	0		0	−3	5

прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -4 соответственно

	1	1	1		1	1	1	= 0 .
3,4	2	−1	−4	=	0	−3	−6	= 0 .
	4	1	−2		0	−3	−6

прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -5 соответственно

	1	1	1		1	1	1		1	0	0	.
4,4	2	−1	−4	=	0	−3	−6	≠ 0 .	2	−3	−6	.
	5	2	−4		0	−3	−9		5	−3	−9

прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -4 соответственно

	1	1	2		1	1	2	= 0.
3,5	2	−1	0	=	0	−3	−4	= 0.
	4	1	4		0	−3	−4

прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -5 соответственно

	1	1	2		1	1	2
4,5	2	−1	0	=	0	−3	−4	= 0
	5	2	6		0	−3	−4

Найдем окаймляющие его миноры прибавим ко второй, третьей и четвертой строке первую, умноженную на -2, -5 и -4 соответственно

1	1	1	−1		1	1	1	−1
1	1	1	−1		1	1	1	−1
2	−1 −4		3	=	0	−3	−6	5	= 0 .
5	2	−4	0		0	−3	−9	5
4	1	−2	1		0	−3	−6	5

прибавим ко второй, третьей и четвертой строке первую, умноженную на -2, -5 и -4 соответственно

1	1	1	2		1	1	1	2
2	−1	−4	0	=	0	−3	−6	−4	= 0.
5	2	−4	6		0	−3	−9	−4
4	1	−2	4		0	−3	−6	−4

Итак, rangA =3 .

2способ.

1.прибавим ко второй, третьей и четвертой строке первую, умноженную на -2, -4 и -5 соответственно

2.прибавим ко второму, третьему, четвертому и пятому столбцу первый, умноженный на -1, 1, -1 и -2 соответственно

3.прибавим к третьей и четвертой строкам вторую, умноженную на -1

4.получим rangA =3

	1 1 −1 1 2									1 1 −1 1							2		1 0 0 0 0
		2	−1 3 −4 0								0	−3 5 −6 −4							0 −3 5 −6 −4				→
		2	−1 3 −4 0						→		0	−3 5 −6 −4						→	0 −3 5 −6 −4				→
		4 1 1 −2 4									0	−3 5 −6 −4							0 −3 5 −6 −4
		4 1 1 −2 4									0	−3 5 −6 −4							0 −3 5 −6 −4
		5 2 0 −4 6									0 −3 5 −9 −4								0 −3 5 −9 −4
					1 0		0 0 0								1 0 0 0 0
					0 −3		5			−6		−4			0	−3	0	0	0
				→	0 −3		5			−6		−4	→		0	−3	0	0	0		rangA = 3 .
					0 0		0 0 0								0 0 0 0 0
					0 0		0 0 0								0 0 0 0 0
					0 0		0 −3 0								0 0 0 −3 0
	Ответ: rangA =3 .
			2	5	7
			6	3	4							−1
№ 9. A =			6	3	4	. Найти A
			5	−2	−3
			5	−2	−3
	r	r		1
r	r	r		−5	Решить методом Гаусса
Ax = b , b =				−5	Решить методом Гаусса
				7
				7
										1		−1			1
Решение. Мы нашли A							−1	=		−38		41		−34						A		и алгебраические
							−1
																, вычисляя
										27		−29			24
										27		−29			24
дополнения элементов матрицы.
Есть другой эффективный способ нахождения обратной матрицы – метод
Гаусса (метод расширенной матрицы).
												a11			K a1n

Рассмотрим матрицу матрицы A = K K K																	, представляющую собой

												an1			L ann

			a11		K a1n				1 0 K 0
			a11		K a1n				1 0 K 0

	[AME]= K K K							K K K K .
					L ann
			an1		L ann				0 0 K 1
Элементарными преобразованиями матрицы								[AME] можно свести к виду
1		0	K	0		b	b		K b
1		0	K	0		b	b		K b
						11	12		1n
	0	1	K	0		b21	b22 K b2n
						K	K K K			=[EMB]
K K K K						K	K K K
	0	0		1
	0	0	K	1		bn1	bn1 K bnn
						bn1	bn1 K bnn

Тогда B = A−1.

1.прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -3 и -2 соответственно

2.прибавим к первой и второй строке третью, умноженную на -2 и -1 соответственно

3.прибавим к третьей строе вторую

			2 5 7										1 0 0						2 5						7		1 0 0
			2 5 7										1 0 0						2 5						7		1 0 0
					6 3 4								0 1 0								0	−12			−17		−3 1 0					→
	[A \| E]=				6 3 4								0 1 0					→			0	−12			−17		−3 1 0					→
					5 −2						−3		0 0 1								1	−12			−17		−2 0 1
					5 −2						−3		0 0 1								1	−12			−17		−2 0 1

		0 29						41				5 0 −2							1 0						0		1 −1 1
		0 29						41				5 0 −2							1 0						0		1 −1 1
	→		−1 0					0				−1 1 −1					→			0 29					41		5 0 −2
	→		−1 0					0				−1 1 −1					→			0 29					41		5 0 −2					→
			1 −12 −17									−2 0 1								0		−12			−17		−3 1 0
			1 −12 −17									−2 0 1								0		−12			−17		−3 1 0


			1 0			0					1 −1				1					1 0				0			1	−1			1
					41						5				2								41				5					2
	→		0 1		41						5	0		−	2		→			0 1			41				5	0	−			2		.
	→		0 1		29				29			0		−	29		→			0 1			29			29		0	−		29			.
					29				29						29								29			29					29
							1			−3 1					0										1		27				24
			0 0 −				1			−3 1					0					0 0 −					1	−	27	1	−		24
			0 0 −			29														0 0 −				29		−	29	1	−		29
						29																		29			29				29
Решение:
прибавим ко второй и третьей строкам первую, умноженную на -3 и
−5 соответственно
	2

2 5 7						1					2	5						7				1				2		5	7					1
2 5 7						1					2	5						7				1				2		5	7					1
	6 3 4				−5						0		−12					−17				−8				0 12			17					8	=
	6 3 4				−5			=			0		−12					−17				−8			=	0 12			17					8	=
	5 −2 −3			7										25		−3 − 35							5					29		41			9
	5 −2 −3			7							0 −2 −			25								7 −	5			0 −		29	−	41			9
											0 −2 −											7 −				0 −			−
														2						2			2					2			2			2
														2						2			2					2			2			2

2		5		7	1


0	12		17		8
		29		41	9	.
0	−	29	−	41	9
0	−	2	−	2	2

x	= 1 − 5 (−175) + 7 124 =872 ,
1			2
	x =		8 −17 x3	= −175 ,
	x =			= −175 ,
	2		12
			12
		x = 31 12 =124 .
		3	3
			3
Ответ: x1 =872, x2 = −175, x3 =124.

Гаусса. Решение:

1.прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -1 и -2 соответственно

2.
1		1	1	1	0	0	1 1 1				1 0	0

	1	2	4	0	1	0		0	1	3	−1 1	0	→
[A \| E]=							→
	2	3	4	0	0	1		0	1	2	−2 0 1

1 1 1				1 0 0								1 1 0						0 −1 1
1 1 1				1 0 0								1 1 0						0 −1 1
		0 0 1		1 1									0 0 1
→		0 0 1		1 1					−1		→		0 0 1					1 1 −1 →
		0 1 2											0 1 2					−2 0 1
		0 1 2		−2 0 1									0 1 2					−2 0 1
1 1 0			0 −1 1									1 0 0						4 1 −2
1 1 0			0 −1 1									1 0 0						4 1 −2
	0 0 1		1 1											0 0 1						→
→	0 0 1		1 1						−1			→		0 0 1				1 1 −1		→
	0 1 0		−4											0 1 0				−4 −2 3
	0 1 0		−4				−2 3							0 1 0				−4 −2 3
				1				0		0		4			1			−2
				1				0		0		4			1			−2
					0 1 0							−4 −2				3
		→			0 1 0							−4 −2				3			,
					0			0		1		1			1			−1
					0			0		1		1			1			−1
										4				1	−2
										4				1	−2
				A		−1				−4			−2		3
				A				=		−4			−2		3		.
										1				1	−1
										1				1	−1

Проверка:

1	1	1	4 1 −2					1	0	0
1	2	4		−4		−2 3		0	1	0
							=				.
2	3	4		1 1 −1				0	0	1

4 1 −2					1 1 1			1	0	0
−4 −2 3						1 2 4		0	1	0
							=				.
						2 3 4		0	0	1
1 1 −1

			4	1	−2
Ответ: A	−1		−4	−2	3
Ответ: A		=	−4	−2	3	.
			1	1	−1
			1	1	−1

№11. Проверить совместность системы и решить ее методом Гаусса в случае совместности.

x1 − x2 + x3 − 2x4 =1, а) x1 − x2 + 2x3 − x4 = 2,

5x1 −5x2 +8x3 −7x4 = 3.

Решение:

1.прибавим ко второй строке первую, умноженную на -1; прибавим к третьей строке первую, умноженную на -5

2.прибавим к третьей строке вторую, умноженную на -3

			1 -1 1 -2							1					1 -1 1 -2			1
			1 -1 1 -2							1					1 -1 1 -2			1
[A \| B]				1 -1 2 -1						2						0 0 1 1		1
[A \| B]		=		1 -1 2 -1						2		→				0 0 1 1		1	→
				5 -5 8 -7						3						0 0 3 3		-2
				5 -5 8 -7						3						0 0 3 3		-2
1			-1	1	-2		1
1			-1	1	-2		1
	0		0	1	1		1
→	0		0	1	1		1	rangA = 2, rang[A \| B]= 3 .
	0		0	0	0		-5
	0		0	0	0		-5
Согласно критерию Кронекера-Капелли, система не совместна.
x1 + x2 −3x4 − 4x5 = 0,
б) x1 + x2 − x3 + 2x4 − x5 =1,
2x			+ 2x		+ x	− x		+3x					= 0.
	1			2	3	4					5
			1 1 0 -3 -4											0		1 1 0 -3 -4				0
			1 1 0 -3 -4											0		1 1 0 -3 -4				0
[A \| B]				1 1 -1 2 -1										1			0 0 -1 5 3			1	→
[A \| B]		=		1 1 -1 2 -1										1		→	0 0 -1 5 3			1	→
				2 2 1 -1 3										0			0 0 1 5 11			0
				2 2 1 -1 3										0			0 0 1 5 11			0
1			1	0	-3	-4				0
1			1	0	-3	-4				0
	0		0	-1	5	3			1			rang[A \| B]= rangA = 3, n − r = 5 −3 = 2 .
→	0		0	-1	5	3			1			rang[A \| B]= rangA = 3, n − r = 5 −3 = 2 .
	0		0	0	10	11			1
	0		0	0	10	11			1

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.20251 Мб2Практ_работа 5 (Урок_20).doc
#
11.05.2015253 Кб17практика 1 по философии.doc
#
01.04.20252 Мб1Практика АКГ.doc
#
01.03.2025670 Кб1Практика РТИ.doc
#
01.03.202561 Кб2практика(в 14).docx
#
11.05.2015530 Кб35Практикум ГиА.PDF
#
16.03.20161 Мб52Практикум по Builder ч.2.doc
#
16.03.2016472 Кб147Практикум по ТОЭ.pdf
#
01.04.2025299 Кб3ПРАКТИКУМ_Синицына.doc
#
01.03.202511 Мб4Практикум2_1.doc
#
01.04.2025340 Кб1ПРАКТИКУМ2_Синицына.doc