государственныйш

информатики

и

Лекция 9

й

и

е

к

Моменты случайных величин

радиоэлектроники

с

е

Белорусскийk

ы

университетk ∑ i i

x

называется число

Начальным моментом k и– го порядка с.в.

αk

= ∫x

p(x) dx - для непрерывной с.в. x.

государственныйш

В

тαk

= M ( X k ), k

= 0, 1, 2, ... .

и

∞

x

p

а

x.

информатики

й

α

=

− для дискретной с.в.

∞

k

м

α−1

е

д

е

радиоэлектроники

с

к

−∞

k

называется м.о. величины

( X − M (x))k = (xo )k , тБелорусский.е.

ы

а

университет

Приф kт=1 получаем α1 = M ( X ) , т.е. математическое ожидание с.в. xиесть

К

В

т

k

момент первого порядка. Центральным моментом k – го порядка

µ

начальныйа

м

а

µ

= M ( X − M (x))k ,

k = 0, 1, 2, ...

м

Отсюда следует, что µo

= M (1) =1,

µ1

е

= M (x − Mд(x)) =

0,

µ2

= M (x − M (x))

2

ф

е

т

= D(x), т.е. второй центральный момент с.в. x равен диспер-

сии этой с.в.

а

а

К

∞

k

= ∑(xi

µk

− mx )

pi

- для дискретной с.в. x.

i=1

м

∞

µk

= ∫(x − mx )k

f (x) dx - для непрерывной с.в. x.

−∞

государственныйш

Установим связь междуи начальными и центральными моментами:

3

3

информатики3 с

2

2

n

3

µ

=

∞

(x − m )2 p =

∞

x2 p − 2m

∞

+ m

p

=α − 2m2 + m2 =α − m2 .

йx p

2

2

∑ i

x

i

∑ i

i

и

i

x ∑ i

2

x

x

2

x

x ∑ i

i=1

i=1

еi=1

i=1

Аналогично

µ3

=α3 −3mxα2

+ 2mx3

государственныйш

радиоэлектроники

∞

∞

µ2

∞к

∞

∞

й

Белорусский

а

=α2 − mx2

µ3

= ∑(xi

ы

и

∑xi

pi +3mx

∑xi pi −mx ∑pi =α3 −3α2 mx +2mx

−mx ) pi = ∑xi pi −3mx

университет

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

т

В

µ1 = 0

информатики

и

д

м

е

радиоэлектроники

с

к

м

важные ачерты распределения: его положение и степеньБелорусскийразбросанности.

е

е

x

x

ы

Математическое ожидание m

и дисперсия

университет

D

- наиболее часто примеи -

т

наиболеет

няемыефхарактеристики случайной величины. Они характеризуютВ

К

а

а

Третий

центральный момент

служит

для

характеристики асимметрии

(или «скошенности») распределения. Если распределение симметричном

относи-

тельно математического ожидания, то очевидно

е

д

е

ф

а

т

К

а

м

государственныйш

информатики

и

∞

µ3

X

− mx

=

0 .

3

µ

3

=

й(x − m

x

)3

f (x) dx

е

∫

и

−∞

x называется число

Коэффициентом асимметрии

с.в.

радиоэлектроники

с

к

3

е

Белорусский

ыax =

мой «крутостиуниверситет»,

и3

= µ

= µ(( X *) ) .

т.е. островершинности или плосковершинности распределе-

В

т

σ x

σ x

государственныйш

-

цесса.

д

Четвертый центральный момент служит для характеристики так называеи

м

а

информатики

й

ния. Это свойство распределения описывается с помощью так называемого экс-

е

с

к

Эксцессоме

с.в. x

называется число

радиоэлектроники

ф

т

4

Белорусский

ы

и

а

а

lx =

4

−3 =

µ

σ

−3

= µ(( X *)

) −3 .

т

К

σ x

x