3.5. Модели распределенных RC- и RLC-структур

Математическим описанием элементов, параметры которых имеют распреде- ленный характер, служат дифференциальные уравнения в частных производных.

Это обстоятельство создает определенные трудности при построении моделей распределенных элементов, так как используемые в программах АПЭЦ матема- тические модели базируются на методах решения обыкновенных дифферен- циальных уравнений. В связи с этим опишем алгоритмы представления моделей распределенных элементов в виде РИ - моделей многополюсников, в которых локализуется решение уравнений в частных производных.

Прежде чем перейти к способам представления моделей, рассмотрим математи- ческое описание неоднородных структур RC-и RLC-типа.

3.5.1. Исходные уравнения элементов с распределенными параметрами

Различают два основных типа распределенных RС-элементов: R-C-NR- и C- R-NC- структуры (рис.3.5). Учитывая свойство дуальности этих структур, в даль- нейшем будем рассматривать только структуры типа R-C-NR. Уравнения этой структуры записываются следующим образом:

где r(x) и С(х) - соответственно погонные сопротивления и емкость, приходящиеся на единицу длины структуры l.

53

Рис. 3.5. Распределенные RC-структуры: а - условное обозначение и эквивалентная схема R-C-NR-структуры; б - условное обозначение и эквивалентная схема С-R-NC-структуры

Уравнение (3.16) является уравнением параболического типа, решение кото- рого совместно с заданными граничными и начальными условиями представляет со- бой краевую задачу первого рода. Дуальное математическое описание структуры С- R-NC–типа рассмотрено ранее.

Уравнение, описывающее RLC – структуру – неоднородную двухпровод-

54

ную линию с потерями (рис. 3.6, а) через первичные погонные параметры L(x), С(х), r(х) и g(x), можно получить из эквивалентной схемы элементарной ячейки

Объединяя (3.18) и (3.19), нетрудно выразить основное уравнение распре- делённой линии:

с граничными и начальными условиями (3.17). Коэффициенты уравнения (3.20) для однородной линии с потерями (R не равно 0, G не равно 0) определяются через полные параметры R, G, L, С:

σ = 0, μ = LC, ε = LC + LG,η = RG. Для неоднородной линии без потерь (r(x)=0, g(x)=0 ),

σ (x) = (1/ L(x))(dL(x)/ dx); μ(x) = L(x)C(x), ε(x) = 0,η(x) = 0.

Уравнение (3.20) представляет собой уравнение в частных производных гиперболического типа, решение которого так же, как и для RCL–структур, сводится к краевой задаче первого рода.

Учитывая, что рассматриваемые элементы с распределёнными параметрами являются линейными и инерционными, будем строить разностные (Р) модели этих элементов в форме (3.3).

Чтобы получить матричное уравнение (3.3) Р – модели элемента, необхо- димо явно выразить связь между полюсными токами и напряжениями элемента,

причем при построении модели в базисе узловых потенциалов аргументами должны быть напряжения. Полюсные токи RC– и RLC–структур, как следует из (3.14) и (3.18), можно выразить через значения производных на концах структур дu/дх|x=0

и дu/дx|x=1.

Значения этих производных в свою очередь, могут быть вычислены в резу-

55

льтате численного решения уравнений (3.16) и (3.20) и являются функциями заданных в форме (3.17) граничных условий, т.е. напряжений между полюсами. Ниже показано, что производные дu/дх|x=0 и дu/дx|x=1 на каждом временном шаге численного решения уравнений (3.16) и (3.20) приближённо выражаются в виде линейной комбинации граничных условий Ф(t) и ψ(t):

С помощью (3.21) можно получить из исходного описания распределенных структур их Р–модели.

3.5.2. Разностная модель двухпроводной линии

Рассмотрим методику составления Р – модели для однородной линии с потерями. Пусть полюсные токи линии имеют направления, показанные на рис. 3.6, а. Для фор- мирования искомой модели нам необходимо связать полюсные токи Ia, Ib, Ic, Id с напряжениями между полюсами uab, ubd, uac, ucd. Из (3.19) очевидно, что сумма токов i1(x,t) и i2(x,t) не зависит от координаты x и определяется внешними напря- жениями uac и ubd , откуда следует справедливость выражения

где R и L - полные сопротивления и индуктивность линии. Полагая длину линии l равной единице, получаем, что значения погонных параметров R, L, G, С равны значениям полных параметров линии.

Здесь I означает производную по времени dI/dt. Предположим, что в качес-тве метода интегрирования в уравнении ММС выбран неявный метод первого порядка, тогда производные в (3.25) можно заменить следующими разностными эквива- лентами: I ≈∆I/∆t, ∂ u/∂ x ≈∆u/∆x. При этих условиях, учитывая (3.21), получаем систему уравнений, связывающую полюсные токи и напряжения линии, решение которой относительно вектора полюсных токов дает искомую Ρ-модель однородной

двухпроводной линии в виде (3.26), где Ia*, Ib*, Ic*, Id* полюсные токи в момент

времени t-∆t . Данная Ρ–модель характеризует состояние двухпроводной линии на некотором (n+1)-м шаге численного интегрирования уравнения (3.20).

56