5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области

Глобальные матрицы получаются суммированием соответ­ствующих матриц элементов по всем элементам области определения задачи:

; ;, (5.3.1)

где – число элементов, геометрически аппроксимирующих изучаемый объект.

Так как область содержит R узлов, то система уравнений (5.2.9) превращается в системуR уравнений для R неизвестных значений искомой функции – температуры – в этих узлах:

. (5.3.2)

Очевидно, что при ,. Таким образом,ранг глобальной матрицы, а, следовательно, и объем памяти для ее записи, определяется не числом элементов, а количеством узлов. При этом всегда R > E. Поэтому к дискретизации области следует подходить рационально: количество узлов должно обеспечить требуемую точность решения и, в то же время, не слишком завысить объем памяти. При дискретизации разных по размерам частей конструкции одним из средств удовлетворения этим требованиям является, как показано в п. 3.2, использование элементов разной геометрии.

В методе конечных элементов каждый элемент рассматривается независимо от других. Поэтому при записи его матриц естественно оставлять в ней только те члены, которые относятся к данному элементу, а остальные – нулевые – в его матрицы не включать. Благодаря этому размер матриц элемента равен или, и их называетсокращенными. Такая форма записи существенно экономит объем памяти. Процедуру формирования глобальных матриц рангом легко осуществить, расширив рангэлементных сокращенных матриц до ранга, располагая при этом их члены согласноглобальным номерам узлов элемента (т.н. метод прямой жесткости). При таком способе суммирование Е элементных матриц рангом r, т.е. формирование глобальных матриц, становится тривиальной процедурой (типа известной игры “морской бой “). Сущность метода состоит в следующем.

Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента вместо индексов егоузлов приписываются зафиксированные в таблице входных данных (см. стр.40) соответствующие им глобальные номера. Номера строк и столбцов сокращенной матрицы элемента указывают теперь "координаты" каждого члена этой матрицы в сетке глобальной матрицы, что и проиллюстрировано ниже.

А) Сокращенная

матрица элемента

б) Переформированная матрица элемента при ее включении в глобальную

Остальные места в глобальной матрице займут, очевидно, члены сокращенных матриц других элементов. Так как элементы имеет общие узлы, то члены матриц с "координатами" этих узлов будут алгебраически суммироваться. Использование ме-

тода прямой жесткости значительно сокращает загрузку памяти. В реальной про-грамме сокращенные матрицы элементов после их вычисления могут сразу заноситься в соответствующие глобальные и из памяти удаляться.

5.4 Стандартизация матриц элементов

Алгоритм вычислительной программы реализации метода конечных элементов

должен содержать проинтегрированные – стандартизованные – матрицы элементов базового каталога.

Интегрирование матриц элементов каталога, представляющих собой координатные ячейки, не вызывает затруднений, так как в этом случае оно ведется по независимым переменным . Благодаря этому интеграл по объему сводится к произведению трех однократных определенных интегралов, каждый из которых берется по одной из независимых переменных.

Для получения конкретного вида интегрируемой матрицы необходимо проделать следующие операции:

• найти конкретные выражения базисных функций всех узлов элемента, ис-

пользуя один из способов математического его описания (см. главу 4) в зави-

симости от типа элемента;

• пользуясь таблицей производных (cм. стр. 56), определить производные ба-

зисных функций по текущим переменным;

• подставить найденные конкретные функции в соответствующие элементы

матрицы и проинтегрировать их;

• свести в матрицу результаты интегрирования ее элементов.

Согласно (5.2.6) матрица теплоемкости любого элемента всегда симметрична и ее элементами, расположенными на главной и над главной диагональю матрицы, будут интегралы:

и ,. (5.4.1)

соответственно; – число узлов элемента.Соотношение (5.4.1) может рассматриваться как тестовое для проверки правильности найденной ранее базисной функции.

Компоненты объемной части матрицы теплопроводности (5.2.1) в разных системах координат описываются следующими конкретными выражениями, полученными с помощью таблицы производных:

1) декартова система координат, ; все три компонента определяются интегралом общего вида:

; ;dV=dxdydz; (5.4.2)

2) цилиндрическая система координат, :

; ; (5.4.3)

; ;

3) сферическая система координат, :

; ;

; . (5.4.4)

Подставляя в (5.4.2)–(5.4.4) базисные функции и их производные для конкретного элемента каталога, последующим интегрированием находятся стандартизованные – программируемые сокращенные матрицы теплопроводности. Элементами стандартизованных матриц будут либо числа, либо функции координат элемента. В вычислительной программе значения этих координат берутся из таблицы входных данных. В качестве множителей перед стандартизованными матрицами стоят величины теплофизических коэффициентов из физического каталога.

Процедура нахождения стандартизованных матриц поверхностной части матрицы теплопроводности описана в п. 5.1.

Стандартизация объемной части вектора тепловой нагрузки (5.2.7) сводится к интегрированию базисных функций конкретного элемента каталога. Поверхностная его часть (5.2.8) находится так же, как и поверхностная часть матрицы теплопроводности, но при этом интегрируются поверхностные базисные функции, а не их произведения.