VI VII VIII IX X

Рис. 2.1

M P q P q

I II

P q M q M

III IV

M P q P q

V VI

q P M P q M

VII VIII

q M M q

P P

IX X

a b c a b c

Рис. 2.2

q q M

P

I II

M q q

P

III IV

q M q

P

V VI

M q q

P

VII VIII

P q M q

IX X

 l  l

l l

Рис. 2.3

Примеры выполнения контрольных работ контрольная работа № 1 пример к задаче 1.1

Стальная колонна (Е = 210⁴ кН/см²) находится под действием продольной силы Р = 20 кН и собственного веса (  = 78 кН/м³).

Требуется:

1. Построить эпюры продольных усилий и нормальных напряжений.

2. Определить опасное сечение и проверить прочность колонны при [] = 16 кН/ см².

3. Определить перемещение верхнего среза колонны без учета собственного веса.

Р а 2A b A c 2A Рис.1

Исходные данные: А=10 см2 ; a=2 м; b=1м; с=3м; Р=20 кН.

Решение

Расчетная схема колонны (Рис.2 ) - ступенчатый брус, загруженный заданной сосредоточенной силой Р и распределенной нагрузкой q₁, q₂, q₃ от собственного веса, где

q₁ =  А₁  =  2А = 782010^-4 = 0.156 кН/м;

q₂ =  А₂ =  А   =781010^-4 = 0.078 кН/м;

q₃ =  А₃ =  2А  =782010^-4 = 0.156 кН/м.

R - опорная реакция.

N, кн , кн/см²

Рис. 2

Разбиваем стержень на участки, начиная с верхнего свободного конца. Границами участков служат сечения в которых приложены внешние силы или же изменяется площадь поперечного сечения. В данном случае имеем три участка, площади поперечного сечения которых: А₁ =2А=20 см², А₂=А=10см², А₃=2А=20см². Ось z направляем вдоль оси стержня от верхнего среза колонны. Для каждого участка находим внутренние продольные силы N_Z методом сечений из условия равновесия отсеченной верхней части (при этом отпадает необходимость в определении реакции заделки R). Нормальные напряжения _z.=

1-ый участок 0  z₁  a

0  z₁  2

q₁ z₁

N_z1

z

2 -ой участок a  z ₂  a+b

2  z₂  3

a q₁ z₂

P

q₂

N_z2

z

3 -ий участок a+ b  z₃  a+b+c

3  z ₃  6

a q₁

P z₃

b q₂

q₃

N_z3

z

Зависимости N_Z и _Z линейно зависят от z. Для построения эпюр достаточно вычислить их значения на границах участков. Эпюры N_Z и _Z строим рядом с расчетной схемой (рис. 2). Ось абсцисс графиков проводим параллельно оси бруса. По оси ординат откладываем в выбранном масштабе значение продольной силы N_Z или нормального напряжения _Z соответственно. Указываем знак. Штриховка должна быть перпендикулярна оси.

2. По эпюре нормальных напряжений _Z определяем опасное сечение. Опасное сечение - сечение в котором .  = 2.039 кН/см². В опасном сечении записываем условие прочности при растяжении-сжатии:

, кН/см²

=2.039 кН/см²  16 кН/см² . Условие прочности выполняется.

3. Результаты расчета показывают, что собственный вес колонны мал по сравнению с приложенной нагрузкой Р. Поэтому при определении перемещения l верхнего среза стальной колонны собственный вес не учитываем. По закону Гука для растяжения-сжатия:

Определяем  l как сумму удлинений ( укорочений ) отдельных участков.

Без учета собственного веса (q₁ = 0, q₂ = 0, q₃  = 0)

Отрицательное значение l показывает, что колонна укоротилась.