II. Внецентренное сжатие (растяжение)
аy
аx Рис.7.9 |
Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил , приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О – центром тяжести сечении (рис. 7.9). При
переносе силы
в т. О брус нагрузится продольной
силой
|
и изгибающим моментом
,
причем все сечения бруса по его длине
будут загружены одинаково.
Определение напряжений
Пусть на брус в т.
«Р» с координатами
и
действует растягивающая сила
(рис. 7.9). Перенесем силу
сначала на ось
(плечо
),
а затем в т. О (плечо
).
В итоге в поперечном сечении бруса
возникнут:
(6)
В произвольной
точке «В» сечения с координатами
и
найдем по (7.2)
(7)
Подставляя (6) в (7) получим
(7.9)
Учитывая, что
и подставляя в (7.9)
(7.10)
В произвольных
случаях нагружения в формулы (7.9) и (7.10)
и
надо подставлять со своими знаками в
заданных главных центральных осях
и
.
при растяжении бруса,
при сжатии.
Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.
Нейтральная ось (Н.О)
Обозначим координаты
точек на Н.О через
.
В этих точках
.
Подставляя
и
в (7.10) и сокращая на
получим
(7.11)
Это уравнение Н.О.
Видно, что это уравнение прямой (
и
в первой степени), не проходящей через
начало координат (т.к. при
).
Положение Н.О удобно определять отрезками
и
,
которые Н.О отсекает на осях координат
(рис. 7.9) и проходит через т. «
»
и т. «
».
Допустим пока, что
и
.
Точка «
»
в этом случае имеет координаты
.
Подставляем это в (7.11) получим
Отсюда
(7.12а)
Аналогично т. «
».
Подставляя
найдем
Отсюда
(7.12в)
Из (7.12) видно, что
при
и
получим
и
,
т.е. наше допущение неверно и правильно
Н.О показана на рис. 7.9.
Свойства нейтральной оси
Из формул (7.12) следует:
Положение Н.О не зависит от величины и знака .
Н.О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т. О.
При удалении полюса от т. О, Н.О приближается к нему и наоборот.
Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н.О перпендикулярна к этой оси (при
полюс на оси
,
,
т.е. Н.О параллельна оси
или перпендикулярна оси
).При вращении Н.О вокруг произвольной точки «
»
на ней (рис. 7.9), полюс перемещается по
прямой линии, не проходящей через т. О.
Подставим в (7.11)
.
Получим уравнение, которое относительно
координат
и
есть уравнение прямой не проходящей
через т. О.Н.О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 7.9 при .
Из соотношений
(7.12) можно решить обратную задачу: зная
положение Н.О (т.е.
и
)
найти положение полюса, т.е.
и
(7.13)
Расчеты на прочность
Определив положение
Н.О, проведем к контуру сечения касательные,
параллельные Н.О. Получим т.1 с координатами
и
и т.2 с координатами
и
.
Если в т. «Р» действует
,
то в т. 1 будут
растягивающие (р), а в т. 2
сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают
из хрупких материалов, поэтому прочность
проверяется отдельно в растянутой и
сжатой зонах по формулам (7.9) или (7.10):
(8)
При действии на
колонну сжимающей силы
в т. 1 будут
,
в т. 2
растягивающие.
Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н.О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.
Для брусьев с
сечениями типа прямоугольника, двутавра
или швеллера из пластичных материалов,
у которых
,
первую попытку можно провести как при
косом изгибе по второй формуле (7.8),
определив
и
по (6), а
пока не учитывать. Здесь подбор размеров
сечения проводить так, как указано ниже
формулы (7.8). Определив размеры сечения,
делать проверку по (8) с учетом
.
Ядро сечения
Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т.д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н.О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т. О.
а Рис.7.10 |
Ядро сечения – это некоторая область вокруг ц.т. (т. О) сечения, внутри которой можно располагать полюс т. «Р», не вызывая в сечении колонны напряжений разных знаков (только знака ). Если полюс «Р» расположен на границе ядра сечения, то Н.О только касается контура сечения. На этом и основан порядок построения ядра сечения, показанный на рис. 7.10: |
Даем Н.О все возможные положения, касательные к контуру сечения, учитывая симметрию сечения. Это Н.О (1) Н.О (4).
Для каждого положения Н.О (1) Н.О (3), т.е. вертикальных и горизонтальных, легко определить величины и знаки отрезков
и
(
),
зная размеры сечения и положение главных
центральных осей
.
Например, для Н.О
(1)
(Н.О (1) и ось
параллельны),
показан на рис. 7.10.
По формулам (7.13) вычисляем для каждого положения Н.О координаты полюса, т.е.
и
и определяем эти т.1
т.3 на рисунке сечения, выполненного в
масштабе (рис. 7.10).
Для Н.О (4) –
наклонной, определить
и
затруднительно. Поэтому здесь лучше
использовать уравнение Н.О в виде (7.11).
Н.О (4) проходит через т.т. «а» и «b»
сечения, координаты которых
и
легко определить (величины и знаки).
Подставляем их в (7.11) вместо
и
получим
(9)
Решаем эти два уравнения для вычисления и , это и будут координаты т. 4 на ядре. Из рис. 7.10 видно, что Н.О из одного положения в другое переводятся вращением вокруг точек сечения колонны, а согласно свойства 5 Н.О полюс при этом перемещается по прямой. Поэтому т.1 т.4 на рис. 7.10 надо соединить прямыми линиями. Получим половину ядра сечения, заштрихованную на рис. 7.10. Сечение колонны симметрично относительно оси , поэтому и ядро его сечения симметрично относительно оси (вторая половина ядра показана пунктиром).
Ядра сечений некоторых фигур
Прямоугольное сечение
:
Рис.7.11 |
Ввиду двух осей симметрии и достаточно двух положений Н.О Н.О (1):
|
,
,
т.е. т.1 на оси
.
Н.О (2):
,
т.е. т.2 на оси
.
.
Строим т.2., т.3 симметрична т.1, а т.4
симметрична т.2. Соединяем т.1т.4
прямыми линиями, получим ядро сечения
в виде ромба с размерами
и
.
Круглое сечение радиуса
.
Рис.7.12 |
Ввиду осевой симметрии, достаточно одного положения Н.О
|
.
Получим т.1 на ядре. Ядро сечения здесь
круг с радиусом
.