Теоретична частина

Електричне коло, яке має у своєму складі нелінійний елемент - діод, зображене на рис. 8.1. Вольт-амперна характеристика діоду описується нелінійним аналітичним рівнянням

i=I(e^BV-1), (8.1)

де І-коефіцієнт із розмірністю ампер,

В-коефіцієнт із розмірністю 1/вольт.

Із цього рівняння виходить, що при V -  струм і 1 та при V струм і.Розрахунок режиму роботи кола при заданих значеннях E та R означає розрахунок значення струму і через діод або напруги на діоді. Розрахункові вирази можна отримати, використовуючи другий закон Кірхгофа:

V=E-i*R (8.2)

Ця залежність між i та V є рівнянням прямої, яка перетинає вісь струмів (вісь ординат) у точці E/R (у цій точці V=0) та вісь напруг (вісь абсцис) у точці E (у цій точці і=0).

Рівняння (8.1) та (8.2) створюють розрахункову систему двох рівнянь з двома невідомими:

або (8.3)

Рішенням цієї нелінійної системи будуть деякі значення та, які перетворюють ліві частини рівняннь системи (8.3) в нуль.

Рис. 8.2

Рішення системи можна знайти графічним способом, побудувавши у системі координат i-V графіки двох рівнянь та знайшовши точку їх перетину, як це зроблено на рис. 8.2. Однак це рішення буде неточним і тому систему рівнянь розраховують чисельними методами. Для цього перетворимо систему у одне нелінійне рівняння з одним невідомим. Знайдемо із першого рівняння і та підставимо у друге:

(8.4)

Рис. 8.3

Далі перенесемо усі додатки у праву частину рівняння і тоді ця права частина буде зображати якусь функцію напруги:

(8.5)

Рішення (або розв’язок) рівняння (8.5) - це значення V=, для якого функція Ф перетворюється у нуль. Графік цієї функції зображений на рис.8.3.

Нижче будуть розглянуті різні чисельні методи, за допомогою яких можна

розв’язати систему рівнянь (8.3) або знайти значення V, для якого функція (8.5) перетворюється в нуль.

№1 Метод хорд.

Діаграмма обчислювального процесу зображена на рис. 8.4.

Вибираємо точку на осі абсцис зі значенням функції Ф₁>0 та іншу точку V₂ зі значенням функції Ф₂<0. Точка з нульовим значенням функції Ф лежить між

Рис.8.4

цими двома точками V₁ та V₂. Проводимо через точки з абсцисами V₁ та V₂ пряму (хорду), рівняння якої легко записати (див.рис. 8.4).

(8.6)

Тепер знаходимо координати точки, у якій хорда перетинає вісь абсцис (8.7)

Отримане значення напруги вважаємо новим значенням V₂. Як видно із рис. 8.2, нове значення V₂=V лежить ближче до розв’язка рівняння ніж попереднє значення. Для нового значення V₂ обчислюємо значення функції Ф_{2 і} знову повторюємо той розрахунок по (8.7), полишивши точку V₁ на старому місці аж поки абсолютне значення функції |Ф₂| не стане меншим за задану абсолютну припустиму похибку EPS.

№2 Метод половинного ділення.

Вибираємо точку на осі абсцис V₁ зі значенням функції Ф₁>0 та точку V₂ зі значенням функції Ф₂<0. Розв’язок рівняння (8.5) лежить між цими точками. Нову точку беремо посередині відрізка

(8.8)

Обчислюємо значення функції Ф у цій точці. Якщо Ф<0, то розв’язок лежить між V i V₁. У цьому випадку треба замінити V₂ на V та повторити розрахунок по (8.8). Якщо ж Ф>0, то розв’язок знаходиться між V₂ i V. Тоді треба поміняти V₁ на V та повторити розрахунок по (8.8) до отримання малого значення функції |Ф|<EPS.

№3 Метод дотичних

Рис. 7.5

Діаграма обчислювального процесу методу дотичних зображена на рис. 8.5. Вибираємо точку на осі абсцис V₁ та обчислюємо у цій точці значення функції Ф₁. Проводимо із вибраної точки дотичну до кривої Ф, як показано на

рис.8.5.

Рівняння дотичної (8.9)

Визначимо точку, у якій дотична перетинає вісь абсцис

(8.10)

Аналітичний вираз похідної знаходимо із (8.5)

(8.11)

Він дозволяє отримати чисельне значення похідної у будь-якій точці V. Попереднє значення V₁ змінюємо на нове, розраховане згідно з (8.10). Знаходимо значення функції Ф та перевіряємо нерівність |Ф|<EPS. Якщо вона не виконується, то розрахунок повторюється.

№4 Метод простої ітерації.

Розглянемо систему рівнянь (7.3). Візьмемо точку на осі абсцис V=V₁. Для цього значення напруги V₁ із першого рівняння системи (8.3) знаходимо значення струму і

Рис 8.6

i=(E-V)/R , (8.12)

яке дозволяє із другого рівняння обчислити нове значення напруги

(8.13)

Це нове значення V буде відрізнятися від старого V₁. Замінюємо V₁ на V та повторюємо розрахунок. Описана процедура зображена на рис. 8.6. Можна спростити розрахунок, підставив значення і із (8.12) у (8.13):

(8.14)

тепер у (8.14) у правій частині стоїть старе значення V. Процес обчислення V повторюється до виконання нерівності |Ф|<EPS.

№5 Метод Чебишева

Щоб зрозуміти краще цей метод, треба спочатку ознайомитись з методом дотичних. Метод Чебишова відноситься до методів більш високого порядку, тому що використовує другі похідні функції Ф. Розглянутий вище метод похідних є його частковим випадком.

Ідея методу полягає у тому, що формула (8.10) методу дотичних заміняється на більш складну, але більш точну формулу:

(8.15)

де ,- відповідно перша та друга похідні функціїФ у точці V=V₁.

Аналітичний вираз для другої похідної знаходимо із виразу для першої похідної (8.11)

d²Ф

dV^{2 =} I*B²e^BV.

Починаючи зі значення V=V₁, обчислюємо нове значення V згідно (8.15) та значення Ф. Перевіряємо нерівність |Ф|<EPS. Якщо вона не виконується, то розрахунок повторюється.

Лабораторна робота № 9

РОЗРАХУНОК ОПОРУ НЕЛIНIЙНОГО ЕЛЕМЕНТА (1)

Мета роботи - вивчення методiв лiнiйноi iнтерполяцii функцiй, заданих таблицями,та виконання розрахунку опору нелiнiйного елемента постiйному струму

Порядок виконання роботи

А.При пiдготовцi:1.Розробити алгоритм розрахунку опору постiйному струму нелiнiй­ного елемента,вольт-амперна характеристика U=f(i) якого за­дана у виглядi таблицi (таблиця 8.1),використовуючи лiнiйну iнтерполяцiю.

2.Побудувати вольт-амперну характеристику елемента на паперi у проектi звiту.Зробити графiчнi побудови,якi пояснюють розроблений алгоритм розрахунку.Визначити значення опору.

3.Скласти програму розрахунку значеня опору нелiнiйного елемента постiйному струму у заданiй точцi його вольт-амперноi характеристики . Взяти до уваги зауваження,зображенi на рис.9.1.Нелiнiйний елемент описати структурою,у якiй представленi значення струму, напруги та опору:

struct nel_element

{ float current; //струм

float voltage; //напруга

float resistance; //опiр

};

Передбачити у програмі виведення на екран повідомлення “Струм іо зовні таблиці”,якщо іо виходить за межі табличних значень і.

В.У лабораторii:

1.Виконати пiдготовлену программу.

2.Порiвняти отримане значення опору з результатами розрахунку на паперi.Оцiнити похибку графiчного розрахунку.

Змiст звiту:

1.Програма.

2.Блок-схема алгоритму.

3.Графiчнi побудови.

4.Результати розрахунку,iх оцiнка.

5.Висновки по роботi.

Рис.9.1.Алгоритм пошуку місця i₀ у таблиці струмів

ТАБЛИЦЯ 9.1.

Вольт-амперна характеристика U=f(i)

Струм	Напруга U, В
І,	Номер варіанту
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0,3	0,05	1,0	0,22	6,3	3,1	0,08	0,1	2,0	0,63
0,1	0,95	0,15	2,8	0,44	7,4	9,3	0,18	0,28	4,2	0,73
0,2	1,4	0,23	4,3	0,58	8,2	13,7	0,26	0,42	5,6	0,81
0,3	1,8	0,29	5,5	0,71	8,9	17,7	0,32	0,54	6,9	0,88
0,4	2,0	0,35	6,4	0,8	9,5	19,7	0,38	0,63	7,8	0,94
0,5	2,2	0,39	7,1	0,87	10,0	21,8	0,42	0,7	8,5	0,99
0,6	2,3	0,43	7,7	0,93	10,4	22,7	0,46	0,75	9,1	1,03
0,7	2,4	0,46	8,1	0,97	10,7	23,8	0,49	0,8	9,5	1,06
0,8	2,5	0,47	8,3	1,0	10,9	24,9	0,5	0,82	9,8	1,08
0,9	2,5	0,48	8,4	1,02	11,0	25,0	0,51	0,8	1,0	1,09
1,0	2,3	0,46	8,2	1,02	11,1	24,7	0,47	0,77	9,9	1,08
Струм і0	0,22	0,33	0,43	0,55	0,67	0,73	0,89	0,77	0,61	0,48

Струм	Напруга U, В
І,	Номер варіанту
А	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0,05	0,7	0,10	2,0	0,35	7,0	0,71	1,1	0,21	3,7	0,72
0,15	1,2	0,19	3,6	0,51	7,8	1,21	2,0	0,37	5,3	0,80
0,25	1,6	0,26	5,0	0,65	8,5	1,7	2,7	0,51	6,7	0,87
0,35	1,9	0,32	6,0	0,75	9,2	2,0	3,3	0,61	7,7	0,94
0,45	2,1	0,37	6,8	0,84	9,7	2,2	3,8	0,69	8,6	0,99
0,55	2,3	0,42	7,4	0,90	10,2	2,4	4,3	0,75	9,2	1,22
0,65	2,4	0,44	7,9	0,95	10,5	2,5	4,5	0,80	9,7	1,27
0,75	2,5	0,446	8,2	0,99	10,8	2,6	4,7	0,83	10,1	1,30
0,85	2,4	0,47	8,4	1,01	11,0	2,5	4,8	0,85	10,3	1,32
0,95	2,3	0,46	8,3	1,02	11,0	2,4	4,7	0,86	10,5	1,33
1,05	2,2	0,45	8,2	1,03	10,8	2,3	4,6	0,87	10,6	1.34
Струм і0	0,38	0,28	0,82	0,76	0,61	0,57	0,69	0,4	0,9	0,58

Струм	Напруга U, В
І,	Номер варіанту
А	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
0	0,05	1,9	0,4	5,7	0,10	5,1	0,2	4,0	1,00	3,2
0,1	0,05	2,1	0,4	6,0	0,12	5,2	0,22	4,1	1,21	9,5
0,2	0,06	2,5	0,43	6,5	0,17	6,1	0,26	4,4	1,70	13,9
0,3	0,08	3,2	0,51	7,1	0,26	8,1	0,33	5,2	2,62	18,0
0,4	0,10	3,7	0,65	7,8	0,52	10,1	0,38	6,6	5,23	20,0
0,5	0,14	4,3	0,75	8,7	0,87	14,1	0,44	7,6	8,73	23,0
0,6	0,18	4,9	0,83	9,6	1,07	18,1	0,50	8,4	10,9	24,0
0,7	0,24	5,8	0,88	10,1	1,16	24,1	0,59	8,9	11,8	25,0
0,8	0,30	6,5	0,92	10,5	1,20	30,1	0,66	9,3	12,3	25,5
0,9	0,37	7,0	0,95	10,6	1,23	37,1	0,71	9,6	12,7	25,5
1,0	0,44	7,2	0,96	10,7	1,24	44,1	0,73	9,7	13,0	25,0
Струм і0	0,27	0,82	0,31	0,48	0,78	0,52	0,67	0,71	0,52	0,44

Лабораторна робота № 10

РОЗРАХУНОК ОПОРУ НЕЛIНIЙНОГО ЕЛЕМЕНТА (2)

Мета роботи - вивчення методiв квадратичної iнтерполяцiї функцiй, заданих таблицями, та виконання розрахунку опорiв постiйному та змiнному струмам нелiнiйного елемента, вольт-амперна характеристика якого подана таблицею.