44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть xb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+(x-a))(x-a) 0<т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все х(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=> f’(x)0(f’(x)0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), с(x’,x”). По условию имеем f’(x)f’(x)в (a;b) => f’(c)f’(c)f(x”)f(x’)( f(x”)f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).

Следствие: Если x_O-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой -окр-ти точки x_O имеет разные знаки, то x_O-экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)x_O(-) => локальный min, (-)x_O(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.

Определение: Множество М выпукло <=> если  А,ВМ [А,В]М

[А,В]М => [А,В]={А+t(В-А):t[0,1]} => А(1-t)+tВМ

[А,В]М => А,ВМ; ₁=1-t, ₂=t => ₁+₂=1 ₁,₂0 => ₁А+₂ВМ

Рассмотрим точки: А₁,А₂,...А_NМ ₁,₂0 i=1,n):_= 1

Докажем что i=1,n):_*А_I М

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) _=1 => приравниваем ₁=...=_=0 => верно

б) _<1 _*А₁ +...+ _*А_ +_*А_= (1-_)((_/1-_)*А₁+...+(_/1-_)*А_) + _*А_ = (1-_)*B + _*А_

BМ - по индуктивному предположению А_М - по условию=>(1-_)*B + _*А_М Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: А_IМ _0 i=1,n):_=1 => i=1,n):_*А_I М, x_I0, f(x_I)y_I => i=1,n):_*А_I =_x_I;_*y_If(_x_I)_*y_I

Неравенство Йенсена: А_IМ _0 _=1f(_x_I)_*f(x_I)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) x’,x_O,x”(a;b) x’<x_O<x” =>

(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(x_O-x’)(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’) => yf(x_O); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-x_O)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O) =>yf(x_O)

(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O)

“<=”