Вопрос 15. Плоскость. Взаимное расположение плоскостей.

Свойства плоскости:

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;

• Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.

• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.

• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.

• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть заданауравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

где и— постоянные, причёмиодновременно не равны нулю; ввекторной форме:

. где — радиус-вектор точки, векторперпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).

Взаимное расположение плоскостей.

Две различные прямые на плоскости или параллельны, или пересекаются. Точно так же две

различные плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются (рис. 1).

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости

соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Мы видим эту ситуацию на рис. 2. Именно, пусть пересекающиеся прямые a и b, лежащие в плоскости β, параллельны соответственно прямым a1, b1, лежащим в плоскости α. Тогда плоскость α параллельна плоскости β.

Если b1ІІa1 иb2ІІa2, то αІβ

Важное свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются

третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

Именно, пусть плоскость β параллельна плоскости α. Если плоскость γ пересекает плоскость β по прямой bи пересекает плоскость α по прямойa, тоaІІb. Если β ІІ α, тоa ІІ b.

Пересечение плоскостей.

Выше мы неоднократно использовали утверждение о том, что одна плоскость пересекает дру-

гую по прямой. Это — одно из базовых утверждений стереометрии, которое нередко принима-

ется в качестве аксиомы: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересе-

каются по прямой, проходящей через эту точку.

Данное утверждение используется при построении сечений многогранников (сечение тераэдра).

Вопрос 16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

  

                                           рис.6.

     

                                           рис.7.

        

                                          рис.8.

Теорема. Пусть плоскостьзадана общим уравнением

                          ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                          

или параметрическими уравнениями

                              ,   ,

в которых –координаты нормального вектораплоскости,–координаты произвольной фиксированной точки прямой L,  –

координаты направляющего векторапрямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекаетплоскость в точке,координаты которой можно найти изсистемы уравнений

             ;           (7)

2) если и, то прямая лежит на плоскости;

3) если и, то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие говорит о том, что вектрорыине ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М.Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнениесистемы(7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнениясистемы, находимкоординатыискомой точки.

   Если , то это означает, что. А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если, то точка– лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а, то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.