Изменение состояний во времени.

1. Волновая функция гармонического осциллятора в начальный момент времени равна , где: - нормированные стационарные волновые функции основного и первого возбужденного состояний гармонического осциллятора, . Найти средние значения координаты и импульса при . Рассмотреть частные случаи .

2. Свободная частица имеет в начальный момент времени волновую функцию вида: , , . Какое из этих состояний является стационарным? Найти волновые функции в следующие моменты времени.

3. В начальный момент времени частица массой находится в состоянии, описываемом волновой функцией вида . Определить изменение состояния частицы с течением времени, предполагая, что частица свободная.

4. Как изменяется во времени состояние плоского ротатора, если в начальный момент времени оно описывается волновой функцией вида .

Момент количества движения. Движение в центральном поле.

1. Можно ли у частицы одновременно измерить квадрат момента относительно начала координат и расстояние до начала координат. Если можно, то написать волновую функцию состояния с определенными и .

2. Показать, что если некоторое состояние имеет определенную проекцию момента импульса на ось , т.е. , то среднее значение проекции момента на ось , составляющую с осью угол , равно .

3. Волновая функция частицы с определенным квадратом момента , имеет вид: . Найти среднее значение проекции момента на направление в этом состоянии.

4. Найти средние значения потенциальной и кинетической энергий для основного состояния электрона в атоме водорода.

Осциллятор.

1. Используя операторы рождения и уничтожения, доказать соотношение неопределенности для энергетического уровня гармонического осциллятора, где , .

2. Определить уровни энергии и волновые функции стационарных состояний заряженного гармонического осциллятора с массой и зарядом , ориентированного вдоль внешнего однородного электрического поля напряженностью . Для каждого из стационарных состояний определить средние величины дипольного момента и энергии взаимодействия с полем.

3. Найти собственные функции и собственные значения гамильтониана .

4. Найти собственные функции и собственные значения гамильтониана трехмерного изотропного гармонического осциллятора. Определить кратность вырождения энергетического уровня.

5. Определить уровни энергии и волновые функции таких стационарных состояний трехмерного изотропного гармонического осциллятора, для которых момент количества движения равен нулю.

Приближенные методы.

1. На частицу , находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной наложен возмущающий потенциал . Найти поправки к уровням энергии с точностью до второго порядка и поправки к волновым функциям стационарных состояний с точностью до первого порядка теории возмущений.

2. Плоский ротатор с моментом инерции и электрическим дипольным моментом помещен в однородное электрическое поле , лежащее в плоскости вращения ротатора. Считая малым вычислить первые ненулевые поправки к уровням энергии и волновым функциям стационарных состояний.

3. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор находится в слабом однородном магнитном поле. Найти расщепление низшего вырожденного энергетического уровня.

4. Определить квазиклассические уровни энергии и волновые функции связанных состояний для одномерного движения частицы в потенциальном поле .

5. Определить квазиклассические уровни энергии связанных состояний для одномерного движения частицы в потенциальном поле .

6. Найти в квазиклассическом приближении энергетический спектр частицы в поле: , ; . Для потенциала найти полное число квазиклассических дискретных уровней энергии.

7. На линейный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, в некоторый момент времени накладывается однородное (и в дальнейшем постоянное во времени) электрическое поле. Найти вероятность возбуждения энергетического уровня осциллятора в результате такого внезапного включения поля.

8. Исходя из вариационного принципа определить приближенно энергию основного состояния частицы в потенциальном поле . В качестве пробных функций рассмотреть функции вида: , .

Спин.

1. Частица находится в состоянии со спиновой волновой функцией . Найти средние значения проекций спина на оси системы координат, повернутой относительно исходной системы координат на угол вокруг оси .

2. Используя коммутационные соотношения для моментов, найдите матрицы операторов спина в представлении оператора для частицы с полным спином .

3. Найти собственные функции и собственные значения оператора квадрата суммарного спина и оператора суммарной проекции спина на ось для системы из двух частиц со спином каждая.

6