Контрольные вопросы

1. Что такое числовая последовательность? Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела числовой последовательности.

3. Как находится предел числовой последовательности?

4. Как используется число при начислении сложных процентов?

Тема 3. Предел и непрерывность функции

3.1. Функциональная зависимость. Основные элементарные функции

В экономике часто исследует различные зависимости, связывающие одну переменную величину с другой или с несколькими. Для изучения таких зависимостей используются функции.

Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств ХиY. Соответствие(правило), которое каждому элементуХсопоставляет один и только один элемент Y, называется функцией и обозначается, или:XY. МножествоХназывается областью определения функциии обозначается. Множествоназывается областью значений функциии обозначаетсяЕ().

В экономике рассматриваются числовые функции, у которых и область определения, и область значений являются числовыми множествами. Например, функция спроса – зависимость спроса на товар от его цены, однофакторная производственная функция – зависимость объема выпускаемой продукции от объема ресурса и другие.

Переменная называется аргументом или независимой переменной, а– зависимой переменной. Частное значение функциидля значениязаписывается так:или.

Графиком функции называется множество всех точек плоскостис координатами;.

Функции можно задать различными способами: аналитически, таблицей, графически, путем перечисления пар и т.д. Например, функция задана аналитически, ее область определения:, область значений: у0. Эта функция задается графиком:

Функция называется четной, если для всех допустимыхи; нечетной, если. График четной функции симметричен относительно оси, а нечетной – относительно начала координат.

Если для любых значений иотрезка [a,b], которые допустимы из неравенства, следует неравенство, то функция называется возрастающей на этом отрезке;– убывающей на отрезке [a,b];– невозрастающей на [a,b]. Функции с указанными свойствами называют еще монотонными; для знаков <, > строго монотонными.

Функция называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для всехиз области определения (или на отрезке)M.

Функция называется периодической, если для всех допустимыхсуществует такое число, что. При этомтакже принадлежит области определения. Числоназывается периодом функции. Периодическими являются функции,,,.

Если задана функция с областью определенияи множеством значений Е, то может оказаться, что каждому значениюЕ соответствует единственное значение, т.е. определена функция. Такая функция(у) называется обратной к функциии обозначается. Из определения следует, что строго монотонная функция имеет обратную функцию. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает). Графики взаимно обратных функцийисимметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пусть функция определена на множестве, а функция=(x) на множестве. Тогда на множествеопределена функция((x)), которая называется сложной функцией отх. Переменнуюu =(x) называют промежуточным аргументом сложной функции. Таких промежуточных аргументов может быть несколько. Например,=sin²(2x+1).

Элементарными функциями называются функции, заданные одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных (чисел) с помощью конечного числа арифметических операций +, -, ,: и операции взятия функции от функции.

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1. Показательная функция ,,.

2. Степенная функция , где.

3. Логарифмическая функция ,.

4. Тригонометрические функции ,,,

5. Обратные тригонометрические функции ,,,.