1.Папин А.А. Теоретическая механика

Теорема 2. Если твёрдое тело совершает сложное движение, то в каждый момент времени его абсолютное угловое ускорение равно векторной сумме переносного, относительного и добавочного угловых ускорений

στ

Лекция 8. Способы кинематического описания среды. Уравнение неразрывности.

1. Уравнение движения среды

Среда движется относительно неподвижной системы отсчета xα . Связанная со средой

система Oξ1ξ2ξ3 движется и деформируется

вместе со средой. В этой системе координаты

индивидуальной частицы среды постоянны в любой момент времени. Как и для твердого тела движение среды вполне определено

движением соответствующей системы

координат. Сама же среда не только движется

и поворачивается, но и деформируется, т.е. является криволинейной. Если рассмотреть

частицу среды (ξ1,ξ2 ,ξ3 ) , то ее координаты

xα в системе Oxα будут функциями времени. Уравнения

для всех моментов времени t . Заметим, что уравнения движения твердого тела является частным (линейным) случаем системы (8.1). Изучение движения сплошной среды может быть рассмотрено с двух точек зрения.

а) Метод Лагранжа описания движения среды.

С «лагранжевой» точки зрения объектом изучения являются отдельные частицы сплошной среды, рассматриваемые как материальные точки. Все характеристики движения среды

рассматриваются как функции координат ξα и времени t . Переменные ξ1,ξ2 ,ξ3 ,t называют

определению, вектор

vr = dr = ∑vα эrα , (8.5) dt a

называется скоростью частицы. Здесь эrα - базисные вектора системы отсчета, а vα -

компоненте скорости в этом базисе. Поскольку

drr = ∑dxα эrα = ∑эrα dWα ,

αα

б) Метод Эйлера. В этом методе объектом исследования является не сама среда, а неподвижное пространство (или его фиксированная часть), заполненное движущейся средою. Все

характеристики среды рассматриваются в фиксированной точке (xα ) пространства с течением времени, т.е. являются функциями координат xα и времени t . Переменные x1, x2 , x3 ,t

называются переменными Эйлера. Вектор перемещений:

W =W (xα ,t) .

Его компоненты

W = ∑Wα эrα , Wα (x1, x2 , x3 ,t) = xα − xα0 , (8.8)

Изменение вектора при переходе от одной точки пространства к другой в фиксированный момент времени характеризуются векторным градиентом

однородным. В противном случае – неоднородным.

Поле вектора скорости. Если обратить соотношения (8.1), то значения компонент скорости в

в) Взаимосвязь методов Лагранжа и Эйлера. В методе Лагранжа рассмотрение проводится в системе ξ1,ξ2 ,ξ3 ,t , а в методе Эйлера – в системе x1, x2 , x3 ,t . При определенных условиях эти методы эквиваленты. r

Пусть известно движение в переменных Лагранжа, т.е. перемещение W , скорость v , температура θ и т.п. есть функции переменных Лагранжа

Wr =Wr(ξσ ,t), vr = vr(ξσ ,t), θ =θ(ξσ ,t) , (8.11)

Если выполнено условие (8.2), то переменные ξα могут быть выражены через xα :

ξα =ξα (x1, x2 , x3 ,t) , (8.12)

Поставив значения лагранжевых координат в (8.11), найдем перемещение, скорость, температуру и т.п. как функцииr r переменных Эйлера

W =W (xα ,t), vr = vr(xα ,t), θ =θ(xα ,t) ,(8.13)

При этом имеет место следующая связь производных:

Таким образом, переход от движения, заданного по Лагранжу, к описанию движения по Эйлеру сводится к разрешению неявных функций.

Пусть движение описывается в переменных Эйлера, т.е. все характеристики движения среды, в том числе и скорость, заданы как функции x1, x2 , x3 ,t . Систему

dxdtα = vα (x1, x2 , x3 ,t), α =1,2,3 , (8.14)

определяющую компоненты скорости, будем рассматривать как систему уравнений относительно xα . Принтегрировав (8.1) найдем xα как функции t и постоянных c1, c2 , c :

xα = xα (t,c1 , c2 ,c3 ), α =1,2,3, (8.15)

Значений постоянных cα определяются значениями xα в некоторый момент t0 : xα (t0 ) = xα0 ,

т.е. эти постоянные являются параметрами, индивидуализирующими точку сплошной среды и, следовательно, переменными Лагранжа. Использование тех или иных переменных определяется удобством решения задач. Так, в гидромеханике пользуются преимущественно методом Эйлера. В теории упругости широко используются переменные Лагранжа.

2. Уравнение неразрывности

Пусть dV объем сплошной среды массы dm . Функция s = dVdm есть плотность среды в точке.

Тогда масса тела, имеющего объем V :

m = ∫ρdV , (8.16)

V

При вычислении (8.16) можно пользоваться либо Эйлеровыми, либо Лагранжевыми переменными. Фундаментальным признаком ньютоновской механики является закон сохранения массы, математически выражающейся равенствами

d ∫ρdV = 0 dt V

или dtd (ρdV ) = 0 , (8.17)

смотря по тому, рассматривается либо тело, либо частица. Полезно следующее утверждение.

Лемма. Пусть ϕ(M ) непрерывная функция точки, определенная в области D , V - подобласть D V . Если для любой такой подобласти выполняется равенство

∫ϕ(M )dV = 0 , (8.18)

V

то функция ϕ(M ) ≡ 0 в D

Доказательство элементарно, проводится от противного и предоставляется читателю. Принцип сохранения массы приводит к уравнению неразрывности, которые можно записать как в переменных Эйлера, так и в переменных Лагранжа. Пусть система отсчета прямоугольная декартова. В лагранжевых переменных (8.17) имеет вид

Поскольку в системе ξα объем неизменен во времени, то производную можно внести под знак интеграла. Учитывая лемму, получим

0

Пусть J =1 (т.е. xα0 = xα (t0 ) =ξα ). Тогда уравнение неразрывности в переменных Лагранжа

принимает вид

0

ρJ = ρ , (8.19)

Для получения аналога (8.19) в эйлеровых переменных воспользуемся равенством

Глава 2. Динамика материальной точки

Лекция 9 Законы Ньютона. Основное уравнение динамики свободной точки. Импульс, момент импульса, энергия, мощность, работа. Случай консервативных сил. Случай центральных сил

До сих пор мы изучали движение материальных точек и тел, не интересуясь причинами, вызывающими это движение. Последними являются механические (гравитационные) взаимодействия между телами. Мерой механического взаимодействия является сила. Сила характеризуется направлением в пространстве, величиной и точкой приложения, т.е. является вектором и, следовательно, зависит от выбора системы отсчета. Равными называют силы, которые вызывают одинаковые движения. Линией действия сил называют прямую, на которой отложен вектор, изображающий силу.

Другим важным понятием, возникающем в этом разделе, является инертность – свойство любого материального тела реализовывать движение аод действием силы не мгновенно, а постепенно, и тем медленнее, чем большее мера его инертности. Мерой инертности служит скалярная m , называемая массой тела.

9.1 Законы Ньютона (И.Ньютон «Математические начала натуральной филисофии», 1687г. перевод А.Н.Крылова, 1936г.)

Опыты приводят к законам механики, которые устанавливают зависимости между динамическими (сила, масса) и кинематическими (скорость, ускорение) характеристиками движения материального тела.

Первый закон Ньютона (закон инерции): материальная точка, на которую не действует никакие силы, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета (всюду далее, если не оговорено особо, всегда рассматриваются инерциальные системы т.е. системы, собственные движения которых не может быть обнаружено никакими механическими опытами).

Количеством движения (импульсом) называется вектор K = mvr, где v - скорость тела. Второй закон Ньютона (основной закон механики): изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит в направлении действия силы:

ddtK = Fr(t, rr,vr) , (9.1)

где r - радиус-вектор, t - время. Если dmdt = 0 , то (9.1) принимает вид

mar = m ddtv = Fr(t, rr, vr) , (9.2)

где a(t) - вектор ускорения.

Третий закон Ньютона (закон действия и противодействия). Любые две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль прямой,

соединяющей эти точки, в противоположные стороны (если точка A действует на точку B с силой FB , а точка B действует на точку A с силой FA , то FB = −FA ).

Следует отметить, что сила F в правой части (9.1) есть векторная сумма (равнодействующая) всех сил, приложенных к точке. Если точка покоится (движется равномерно и прямолинейно), то силы, действующие на точку, называются уравновешивающимися (эквивалентны нулю).

Аксиома об абсолютно твердом теле: две силы, действующие на твердое тело, уравновешиваются, тогда и только тогда, когда они действуют вдоль общей линии действия в противоположных направлениях и имеют одинаковую величину.

Следствием является следующая Теорема. Не изменяя механического движения абсолютно твердого тела, силу можно

переносить вдоль ее линии действия в любую точку тела.

б) Сила упругости F = (0,0,−cx) . Здесь с - коэффициент жесткости (пружины), x - относительное удлинение.

Потенциальная энергия U = 12 cx2 +const . Полная энергия точки

массы m , занимающей положение M , равна

ε = 12 mv2 + 12 cx2 = const .

Этот результат (как и результат примера а) можно получить из уравнения (9.1), записанного для данного случая:

m d 2 x = −cx . dt 2

После умножения на v = x& получим

dtd (12 mv2 + 12 cx2 ) = ddtε = 0 ε = const

9.3. Случай центральных сил.

Если сила F может быть представлена в виде

Тем самым, потенциальная энергия есть

U = −∫Fr (r)dr + const .

Следует отметить, что задача о движении материальной точки в поле центральных сил упрощается благодаря существованию двух интегралов движения.

(i)Пусть линия действия силы F проходит через точку O . Без ограничения общности

(ii)Умножая (9.15) скалярно на радиус-вектор rr = (x1 , x2 , x3 ) , получим второй интеграл

Lr0 rr = m(rr×vr) rr = 0 = ∑3 cα xα , (9.16)

α=1 r

Из (9.16) следует, что движение точки P происходит в плоскости, ортогональной вектору c Соотношение (9.15) содержит три скалярных равенства. Последнее из них представлено в следующем виде

x1 x&2 − x2 x&1 = c ≡ cm3 , (9.17)