1.Папин А.А. Теоретическая механика

Пусть P, P0 - текущее и начальное положение

С учетом (9.17)

dsdt = 2c S = 2c (t −t0 ), S(t0 ) = 0 , (9.18)

Соотношение (9.17) называется интегралом площадей. Смысл такого названия раскрывает (9.18): радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле центральных сил, за равные промежутки времени «заметает» равные площади.

Легко видеть, что из (9.20) следует (9.18).

Лекция 10. Закон всемирного тяготения. Интеграл площадей. Формула Бине. Закон Кеплера.

10.1 Интеграл площадей

Как следует из лекции 9, траектория материальной точки, движущейся в поле центральных сил, является плоской. Без ограничения общности будем считать, что это движение происходит в

плоскости x3 = 0 . Использование полярных координат

x1 = r cosϕ, x2 = r sin ϕ

позволяет представить интеграл площадей (9.17) в следующем виде

r2 ddtϕ = c (10.1)

Сохраним за (10.1) название интеграла (закона) площадей, а так же заметим (проверка предоставляется читателю), что верно и «обратное» утверждение: если имеет место интеграл площадей, то точка движется под действием центральных сил.

10.2 Формула Бине

Основной закон механики (9.1) представим в полярной системе координат (x3 = 0):

позволяющая при соответствующих начальных условиях определять по заданной силе траекторию точки, а при известной траектории – силу.

10.3 Законы Кеплера

Законы Кеплера были сформулированы на основе опытных данных астронома Тихо-Браге. 1. Все планеты описывают вокруг Солнца плоские орбиты, следуя законы площадей.

2. Орбиты планет суть конические сечения, в одном из фокусов которых находится Солнце. 3. Квадраты звездных времен обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам

больших полуосей их орбит.

Пусть (r,ϕ, z) - цилиндрическая система координат. Следуя первому закону можно принять

z = 0 . Секторная скорость в этой системе

2sr = rr×vr = −r zϕ&err + (zr&− rz&)erp + r2ϕ&erz

в силу предположения z = 0 и условия (10.1) является постоянной, причем эта постоянная с имеет смысл удвоенной секторной скорости.

Конические сечения с общим фокусом имеют вид

r = p( ), (10.4)

1+ e cos ϕ +α

Пусть a - большая площадь орбиты планеты, T - период обращения планеты вокруг Солнца. Из третьего закона:

a3 = const (10.6) T 2

10.4 Закон всемирного тяготения установлен Ньютоном на основе законов Кеплера

Подставляя (10.4) в (10.3) находим, что планеты движутся вокруг Солнца под действием силы притяжения

Fr = − mcp2 r12 ≡ −µ rm2 , (10.7)

обратно пропорционально квадрату расстояния от планеты до Солнца. Постоянная Гаусса:

µ = c2 в силу третьего закона Кеплера одинакова для всех планет, т.к. p

В силу третьего закона Ньютона Солнце притягивается планетой силой

Fr′ = −λ Mr 2 = −Fr ,

где M - масса Солнца, λ - постоянная Гаусса. Тем самым, λ M = µ m и, следовательно,

Mµ = mλ = f µ = f M , (10.8)

где f - гравитационная постоянная

С учетом (10.8) формула (10.7) принимает вид

Fr = − f Mr 2m , (10.9)

закона всемирного тяготения Ньютона.

Рассмотрим обратную задачу: сила Fr задается формулой (10.8), найдем траекторию точки. Подставляя Fr в формулу Бине, получим уравнение

и представляет собой конические сечения (эллипс, парабола, гипербола), один из фокусов которого является центром притяжения. Вид сечения зависит от значения эксцентриситета

времени t = 0 известны модуль скорости и положение точки:

Подставляя в (10.12) представление (10.11) находим искомое значение параметра A через начальные данные

и, вообще говоря, an ≠ 0 для случая стационарной связи. Соотношение (11.6) имеет место лишь для гладких, по крайней мере дважды непрерывно-дифференцируемых функций f (r,t) .

11.3 Основной закон движения несвободной точки по поверхности

Попытка описать движение несвободной точки в рамках основного закона механики (9.1)

приводит к противоречию, поскольку активная сила F из (9.1) (вообще говоря – произвольная) должна, в силу (11.6), удовлетворять условию

Fr nr = −m Df

f

и, следовательно, зависеть от вида связи. Это противоречие снимается, если принять, что несвободная точка движется по закону

mar = F + R , (11.7)

где F - активная сила, R - сила реакции связи, подлежащая определению. Нормальную составляющую R можно определить, используя (11.6)

а вид касательной составляющей постулируется (на основе опытных данных):

заданный параметр (множитель связи); vrr - скорость точки относительно поверхности f (r,t) = 0 , направленная по касательной к последней; k - коэффициент трения. Таким образом,

Если k = 0 , связь называется идеальной. Касательная составляющая реакции связи называется силой трения, т.к. она возникает благодаря трению. В зависимости от взаимных движений трение может быть трех видов. Трение скольжения – относительная скорость точек касания поверхностей, движущихся в контакте, не равна нулю. Трение качения – тело катится по другому без скольжения и относительная скорость точек касания равна нулю. Трение верчения

– вращение тела вокруг оси, нормальной поверхности соприкасающихся тел и проходящей через точку касания. Трение скольжения может быть статическим (при относительном покое соприкасающихся тел) и трением движения (при относительном движении тел). Экспериментальные законы трения скольжения:

1.Сила трения скольжения действует в общей касательной плоскости к поверхности соприкасающихся тел; величина Q статической силы трения всегда имеет такое значение,

которое необходимо для противодействия относительному скольжению тел, но не превышает некоторой предельной величины: Q ≤ Qmax .

2.Предельная величина силы статического трения зависит от природы соприкасающихся тел и пропорциональна нормальной реакции N , возникающей при взаимном давлении тел друг на друга (закон Кулона):

Qmax = f0 N , (11.13)

Коэффициент пропорциональности f0 называется статическим коэффициентом трения

скольжения, определятся опытным путем и зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей.

3.Сила трения не зависит от площади касания соприкасающихся при трении тел.

Когда сила статического трения достигает предельной величины, достаточно «малейшего толчка», чтобы одно тело начало двигаться по поверхности другого. При движении тела сила трения движения направлена в сторону, противоположную направлению относительной скорости точек касания движущегося тела, а ее величина определяется формулой

Q = fN , (11.14)

Коэффициент пропорциональности f называется

динамическим коэффициентом трения скольжения,

зависит от материала и состояния трущихся

поверхностей. Экспериментально установлено, что

f < f0 . Кроме того, f не зависит от величины относительной скорости соприкасающихся тел. Поясним эти понятия на примере тела веса P ,

сила трения Q = −S . Чтобы сдвинуть груз, нужно приложить силу S1 = f0 N = f0 P . При движении тела с некоторой ненулевой скоростью величина силы трения станет равной Q = fP < f0 P . Поэтому, если действие силы S1 сохранится, то тело будет двигаться

ускоренно. Для поддержания равномерного движения необходимо, чтобы в дальнейшем сила

S < S1 .

Поскольку R = Q + N и Q < Qmax , то при

данной величине N вектор R имеет

разные модули и образует разные углы с

нормалью. Наибольший модуль R имеет

при Q = Qmax . Угол ϕ между R и N

(наибольший из всех возможных)

называется углом трения. Имеем (см. рис.)

Qmax = N tgϕ и, следовательно, tgϕ = f0 = QNmax .

Поскольку тело может перемещаться вдоль поверхности в любом направлении, реакция связи R при равновесии не выходит за границы конуса с углом раствора 2ϕ . Этот конус называется

конусом трения. Если же R оказывается за пределами конуса трения, то это означает нарушение равновесия.

Приведем схему решения основной задачи динамики несвободной точки, движущейся по поверхности f (r ,t) = 0 . Пусть заданы: активная сила F , коэффициент трения k и начальные значения радиус-вектора и вектора скорости точки:

согласованные с условиями (11.2), (11.4), (11.6). Параметр λ из (11.11) рассматривается как функция xα , x&α ,t , а уравнение (11.7) представим в виде системы:

и рассмотрим для нее задачу Коши (11.15). Последняя, как известно, однозначно локально разрешима, если правая часть системы (11.16) является непрерывно-дифференцируемой

функцией своих аргументов. Если эти условия разрешимости имеют место, то находим xα (t) ,

затем λ , а затем восстанавливаем силы реакции связи. В естественных координатах системы (11.7) имеет следующий вид:

11.3.1 Основной закон движения несвободной точки вдоль линии

Всякую линию можно представить как пересечение двух поверхностей fi (rr,t) = 0, i =1,2,... (11.18)

Относительно fi предполагается функциональная независимость. Ограничения на ускорение

i=1

Из (11.7), (11.19) получим систему для определения λi :

и, следовательно, разрешить исходную систему. После этого определяется нормальная к линии составляющая реакции

11.4 Круговой математический маятник: плоское движение