5. Элементы математической статистики

Математическая статистика– наука о методах регистрации, описании и анализе статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения многократно повторяющихся случайных явлений.

1. Основные задачи математической статистики

Определение закона распределения случайной величины по статистическим данным

Закономерности, наблюдаемые в многократно повторяющихся явлениях, проявляются тем больше, чем больше статистических данных об этих явлениях.

На практике приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных. Методика обработки этих данных должна обеспечивать выявление типичных характеристик изучаемых случайных явлений, законов распределения случайных величин, отражающих эти явления количественно.

Проверка правдоподобия гипотез

Анализ статистических данных должен подтвердить или опровергнуть выдвинутую заранее гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, или о некоторой зависимости между двумя случайными величинами.

2. Понятия математической статистики

   1. Виды выборок

Генеральной совокупностью называют всю совокупность изучаемых объектов.

Выборочной совокупностью (выборкой)называют совокупность случайно отобранных объектов.

Повторной выборкой или выборкой с возвратомназывают выборку, когда объект возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторнойназывают выборку, когда объект в генеральную совокупность не возвращается.

Пример. Средний по стране коэффициент вариации прочности бетона, составляющий= 13,5%, получен по генеральной совокупности, обобщающей данные по всем заводам ЖБК.

Коэффициент вариации прочности конкретной партии бетона определяют на выборке образцов, объем которой обычно регламентирован нормами.

2. Частота. Полигон и гистограмма

Значения х_iслучайной величиныX, полученные в выборке объемомn, расположенные в возрастающем или убывающем порядке, составляютвариационный ряд.

Количество появлений n_iв выборке каждого значениях_iназывают его частотой, а отношение– относительной частотой.

Очевидно, что n_i=n, а .

Массив измеренных значений случайной величины часто бывает удобней представить в виде графика. Для дискретных величин целесообразно строить так называемый полигон частот.

Полигоном частотназывают ломаную, отрезки которой соединяют точки (x_i,n_i),i=1, 2, ...,k,

где x_i–i-ое значение, откладывается на оси абсцисс;

n_i– количество появленийi-ого значения, откладывается на оси ординат;

k– число различных измеренных значений случайной величины.

В полигоне относительных частотпоследние откладываются на оси ординат и представляют собой отношение.

Параметры строительных конструкций и материалов являются, как правило, непрерывными случайными величинами. В этом случае лучше использовать графики частот в виде гистограмм.

Гистограмма частот– ступенчатый график по интерваламh(ось абсцисс) с соответствующими плотностямиабсолютныхилиотносительныхчастот.

Приведем для примера гистограмму относительных частот выборки результатов измерения прочности бетона (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Гистограмма измерений прочности бетона

3. Числовые характеристики статистического распределения

Эти характеристики - аналоги вероятностных параметров случайных величин.

Статистическое среднее выборки определяется по формуле, аналогичной выражению для математического ожидания случайной величины:

m_x = (5.1)

Статистическая оценка дисперсии выборки по отношению к аналогичной вероятностной формуле берется с поправкой (обоснование этого коэффициента приводится в курсах теории вероятностей). Таким образом,

D(X) = (5.2)