Характеристический многочлен

Определение .Характеристическим многочленомоператораназываетсямногочлен.

Теорема .Характеристический многочлен линейного операторане зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица.

Определение.Уравнениеназываетсяхарактеристическим уравнением¹²⁾оператора.

Предложение 2.Собственное значениеоператораявляетсякорнемхарактеристического многочлена, т.е.. Обратно, любой кореньхарактеристического многочлена является собственным значением оператора.

Определение 7.Кратностькак корня многочленаназываетсяалгебраической кратностьюсобственного значенияоператора.

Теорема 3.Геометрическая кратность собственного значенияне превосходит его алгебраической кратности.

Диагонализируемые линейные операторы

Определение 8.Линейный операторназываетсядиагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид.

Теорема 4.Линейный операторс простым спектром диагонализируем.

Теорема 5.Пусть— линейный оператор на конечномерном векторном пространственад полем. Для диагонализируемостинеобходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

1. все корни характеристического многочлена лежат в;

2. геометрическая кратность каждого собственного значения совпадает с его алгебраической кратностью.

Собственные вектора и собственные значения

Определение 2.Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно, называетсясобственным вектором оператора. Таким образом, собственный вектороператораудовлетворяет условию. При этом скалярназываетсясобственным значением³оператора.

Определение 3.Подпространство⁾называетсясобственным подпространствомоператора. Размерностьназываетсягеометрической кратностью⁶⁾собственного значения.

Определение 4.Множество всех собственных значений линейного оператораназываетсяспектром⁷⁾этого оператора и обозначается символом. Точка спектра называетсяпростой⁸⁾, если ей соответствует геометрическая кратность 1. Спектр называетсяпростым⁹⁾, если каждая точка спектра проста.

Предложение 1.Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям,линейно независимы. Суммаявляется прямой.

Билет 8

Определение. Подпространство линейного пространстваназываетсяинвариантным для линейного оператора , еслидля любого, т.е..

Замечание. Будем обозначать через ограничения операторана подпространство.

Пример.

Все пространство и нулевое подпространствоинвариантны относительно любого оператора.

Любое подпространства инвариантно относительно оператора, заданного формулой.

Пусть и, где,. Тогда подпространстваиинвариантны относительно(переходит в себя, а-- в ноль).

Ядро и образоператораявляются инвариантными подпространствами вотносительно оператора.

Теорема. Пусть-- инвариантное подпространство-мерного линейного пространствадля оператора. Пусть-- базис в, а-- базис в. Тогда в базисематрица оператораимеет следующий вид

Если прямая сумма инвариантных подпространств для,и-- базисы висоответственно, то в базисепространстваматрица оператора имеет вид

Замечание. Если , где каждоеявляется инвариантным подпространство для. В каждом извыбран базис и объединение базисов -- это базис в. Тогда в этом базисе матрица оператора имеет блочный вид, количество блоков равно.

Определение. Вектор называетсясобственным вектором (для) оператора , еслидля некоторого. Числоназываетсясобственным значением оператора .

Пример. Любой вектор является собственным вектором с собственном значением 0 .

Теорема. Следующие утверждения равносильны.

Матрица операторав базиседиагональна.

Базис состоит из собственных векторов оператора.

Пространство является прямой суммой одномерных инвариантных подпространств, т.е..

Определение. Характеристический многочлен квадратной матрицы-- это.

Замечание. и,и.

Определение. Характеристический многочлен линейного оператора-- это характеристический многочленего матрицыв каком-то базисе.

Теорема. Характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса, т.е. в любом базисе имеет одинаковый вид.

Определение. След оператора-- это след его матрицы в каком-то базисе.

Теорема. След операторане зависит от выбора базиса.

Теорема. Число является собственным значением линейного оператора, где---мерное векторное пространство, тогда и только тогда, когдаявляется корнем характеристического многочлен.

Определение. Оператор называетсядиагонализируемым, если в некотором базисе он имеет диагональную матрицу.

Лемма. Пусть -- собственные векторы для разных собственных значений. Тогда системалинейно независима.

Определение. Пусть -- собственное значение оператора.Собственное подпространство линейного пространства-- это.

Замечание. Если и, то-- собственный вектор. Таким образомсостоит из нуля и собственных векторов.

Лемма. Если , где, -- собственные подпространства воператорадля разных собственных значений, то их суммаявляется прямой.

Определение. Число называетсягеометрической кратностью собственного значения .

Алгебраическая кратность собственного значения -- это кратностькак корня характеристического многочленаоператора.

Лемма. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраическую кратность.

Пример. Рассмотрим линейный оператор , где---мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей. Тогда-- собственное значение,и, где. Получаем, что геометрическая кратность, равная, меньше алгебраической кратности, которая равна. Заметим, что операторне диагонализируем.

Теорема. Если характеристический многочлен линейного операторана-мерном пространстверазлагается на линейные множители, т.е., гдепри, то необходимым и достаточным условием диагонализируемости оператораявляется совпадение геометрической и алгебраической кратности каждого собственного значения, т.е.для каждого.

Следствие. Если характеристический многочлен линейного оператораразлагается на линейные множители, и все корни его являются простыми, то оператордиагонализируем.

Определение. Спектром оператора называется множество его собственных значений. Спектроператораназываетсяпростым, если все простые.

Следствие. Всякий комплексный оператор с простым спектром диагонализируем.

Замечание. Простота спектра является достаточным условием, но не необходимым.

Рассмотрим произвольный многочлен и линейный оператор. Можно определить новый оператор, положив.

Лемма. Пусть даны два многочлена и. Тогда операторыиперестановочны, т.е., причем операторсовпадает с оператором. Еслиматрица оператора, томатрица операторав том же базисе.

Теорема.[Гамильтон-Кэли] Всякий линейный оператор -мерного векторного пространстваявляется корнем своего характеристического многочлена, т.е., где-- нулевой оператор.

Определение. Ненулевой многочлен () называетсяминимальным многочленом оператора (матрицы), если();многочлен() имеет наименьшую степень среди всех многочленов со свойством.

Пример. Рассмотрим линейный оператор , где---мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей. Тогдаи.

Теорема. Если для некоторого многочленаи оператора, тоделится на минимальный многочленоператора.

Следствие. Минимальный многочлен оператор единственен (с точностью до скаляра).

Теорема. Если линейный оператор-мерного,, вещественного пространства, то длявсуществует-мерное или-мерное инвариантное подпространство.

Определение. Подпространство линейного пространстваназываетсяинвариантным для линейного оператора , еслидля любого, т.е..

Замечание. Будем обозначать через ограничения операторана подпространство.

Пример.

Все пространство и нулевое подпространствоинвариантны относительно любого оператора.

Любое подпространства инвариантно относительно оператора, заданного формулой.

Пусть и, где,. Тогда подпространстваиинвариантны относительно(переходит в себя, а-- в ноль).

Ядро и образоператораявляются инвариантными подпространствами вотносительно оператора.

Теорема. Пусть-- инвариантное подпространство-мерного линейного пространствадля оператора. Пусть-- базис в, а-- базис в. Тогда в базисематрица оператораимеет следующий вид

Если прямая сумма инвариантных подпространств для,и-- базисы висоответственно, то в базисепространстваматрица оператора имеет вид

Замечание. Если , где каждоеявляется инвариантным подпространство для. В каждом извыбран базис и объединение базисов -- это базис в. Тогда в этом базисе матрица оператора имеет блочный вид, количество блоков равно.

Определение. Вектор называетсясобственным вектором (для) оператора , еслидля некоторого. Числоназываетсясобственным значением оператора .

Пример. Любой вектор является собственным вектором с собственном значением 0 .

Теорема. Следующие утверждения равносильны.

Матрица операторав базиседиагональна.

Базис состоит из собственных векторов оператора.

Пространство является прямой суммой одномерных инвариантных подпространств, т.е..

Определение. Характеристический многочлен квадратной матрицы-- это.

Замечание. и,и.

Определение. Характеристический многочлен линейного оператора-- это характеристический многочленего матрицыв каком-то базисе.

Теорема. Характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса, т.е. в любом базисе имеет одинаковый вид.

Определение. След оператора-- это след его матрицы в каком-то базисе.

Теорема. След операторане зависит от выбора базиса.

Теорема. Число является собственным значением линейного оператора, где---мерное векторное пространство, тогда и только тогда, когдаявляется корнем характеристического многочлен.

Определение. Оператор называетсядиагонализируемым, если в некотором базисе он имеет диагональную матрицу.

Лемма. Пусть -- собственные векторы для разных собственных значений. Тогда системалинейно независима.

Определение. Пусть -- собственное значение оператора.Собственное подпространство линейного пространства-- это.

Замечание. Если и, то-- собственный вектор. Таким образомсостоит из нуля и собственных векторов.

Лемма. Если , где, -- собственные подпространства воператорадля разных собственных значений, то их суммаявляется прямой.

Определение. Число называетсягеометрической кратностью собственного значения .

Алгебраическая кратность собственного значения -- это кратностькак корня характеристического многочленаоператора.

Лемма. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраическую кратность.

Пример. Рассмотрим линейный оператор , где---мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей. Тогда-- собственное значение,и, где. Получаем, что геометрическая кратность, равная, меньше алгебраической кратности, которая равна. Заметим, что операторне диагонализируем.

Теорема. Если характеристический многочлен линейного операторана-мерном пространстверазлагается на линейные множители, т.е., гдепри, то необходимым и достаточным условием диагонализируемости оператораявляется совпадение геометрической и алгебраической кратности каждого собственного значения, т.е.для каждого.

Следствие. Если характеристический многочлен линейного оператораразлагается на линейные множители, и все корни его являются простыми, то оператордиагонализируем.

Определение. Спектром оператора называется множество его собственных значений. Спектроператораназываетсяпростым, если все простые.

Следствие. Всякий комплексный оператор с простым спектром диагонализируем.

Замечание. Простота спектра является достаточным условием, но не необходимым.

Рассмотрим произвольный многочлен и линейный оператор. Можно определить новый оператор, положив.

Лемма. Пусть даны два многочлена и. Тогда операторыиперестановочны, т.е., причем операторсовпадает с оператором. Еслиматрица оператора, томатрица операторав том же базисе.

Теорема.[Гамильтон-Кэли] Всякий линейный оператор -мерного векторного пространстваявляется корнем своего характеристического многочлена, т.е., где-- нулевой оператор.

Определение. Ненулевой многочлен () называетсяминимальным многочленом оператора (матрицы), если();многочлен() имеет наименьшую степень среди всех многочленов со свойством.

Пример. Рассмотрим линейный оператор , где---мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей. Тогдаи.

Теорема. Если для некоторого многочленаи оператора, тоделится на минимальный многочленоператора.

Следствие. Минимальный многочлен оператор единственен (с точностью до скаляра).

Теорема. Если линейный оператор-мерного,, вещественного пространства, то длявсуществует-мерное или-мерное инвариантное подпространство.

Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа(или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его. По определению,

где — единичный оператор.