626266

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Значит матрица в базисе {e1' , e2'

} имеет вид

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2726 27 > Следующая >>>

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 5. Компланарны ли векторы a , b и c .

a {7,3,4},b { 1,2, 1},c {4,2,4}.

	7	3	4
(a, b, c)	1	2	1	56 12 8 32 14 12 18 0 векторы a , b и c не
	4	2	4
компланарны.

Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 , A2 , A3, A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (0, 1, 1),

A2 ( 2,3,5),

A3 (1, 5, 9),

A4 ( 1, 6,3).

A1 A2 2,4,6 ,

A1 A3 1, 4, 8 ,

A1 A4 1, 5,4 .

					1																			1			2		4	6			1						74
																											2		4	6
V																													4	8					32 30 32 24 80 16					.
						( A A				2		,	A A				,		A A								1
						( A A						,	A A				,		A A								1
					6		1							1		3	1			4		6											6					6
					6																	6					1		5	4			6					6
																											1		5	4
VA A A A									1			S A A A							h h							3V		.
VA A A A												S A A A							h h									.
	1		2		3	4			3					1	2	3											S
									3																		S
								1															1			i			j	k		1				1
																										i			j	k
																																		8i 10 j 4k
S											A A A A														2				4	6							64 100 16
S											A A A A														2				4	6							64 100 16
	A1A2 A3											1		2			1 3
							2														2				1				4	8	2		2
		1
		1			180							45.
	2				180							45.
	2
h					3 74									37				.
				6
							45
							45								45

Задача 7. Найти расстояние от точки М 0 до плоскости, проходящей через точки М1 , М 2 , М 3 .

М1 (2,3,1),

М2 (4,1, 2),

М3 (6,3,7),

М0 ( 5, 4,8).

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0, z3 z1

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

x 2	y 3	z 1
x 2	y 3	z 1
2	2	3	0,
4	0	6

12(x 2) 24( y 3) 8(z 1) 0,

12x 24 y 8z 88 0,

d Ax0 By0 Cz0 D , A2 B 2 C 2

d	12 ( 5) 24 ( 4) 8 8 88			308	308	11.


					28
		( 12)2	( 24)2 82	784

Задача 8. Написать			уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору BC .

A(0, 2,8),

B(4,3,2),

C(1,4,3).

BC { 3,1,1}.

Т.к. вектор BC искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно

3(x 0) ( y 2) (z 8) 0,

3x y z 6 0.

Задача 9. Найти угол между плоскостями.

6x 2 y 4z 17 0, 9x 3y 6z 4 0.

n1	{6,2, 4},
	{9,3, 6}.
n2	{9,3, 6}.
cos			6 9 2 3 ( 4) ( 6)			84


		62 22 ( 4)2		92 32 ( 6)2		126
		62 22 ( 4)2		92 32 ( 6)2	56	126

arr cos1 0.

Задача 10. Найти координаты точки А , равноудаленной от точек

A(x,0,0), B(1,2,3),C(2,6,10).

AB (1 x)2 22 32 x2 2x 14,

AC (2 x)2 62 102 x2 4x 140.

AB AC по условию


	x 2 2x 14	x 2 4x 140,
x 2 2x 14 x 2		4x 140,
2x 126,
x 63

84	84	1,
	84
7056

B и C .

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

Отсюда, A( 63,0,0).

Задача 11. Пусть k -коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точка

A принадлежит образу плоскости ?

A(1,1,1), : 7x 6y z 5 0, k 2.

При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость переходит в плоскость .

: Ax By Cz D 0,

: Ax By Cz k D 0,

': 7x 6 y z 10 0.

A(1,1,1) 7 6 1 10 0, 12 0.

Таким образом, точка A не принадлежит образу плоскости .

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

x 3y 2z 2 0, x 3y z 14 0.

	i	j	k

S n1 n2	1	3	2	9i j 6k.
	1	3	1

S { 9,1,6}.

Найдем координаты одной из точек, через которые проходит прямая (x0 , y0 , z0 ) .

Зададим координате z значение z 0 .

x 3y 2 0,		x 3y 2 0,	x 8,
	0
x 3y 14	0	6 y 12	y 2

Итак, получается точка с координатами ( 8, 2,0).

Уравнение прямой

x 8	y 2	z	.
9	1	6

Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

x 2	y 1	z 3	,
1	1	2

x 2 y z 2 0,

x t 2,y t 1,

z 2t 3.

Подставим в уравнение плоскости

(t 2) 2(t 1) (2t 3) 2 0,

t 2 2t 2 2t 3 2 0,

t 1 0,

t 1.

Таким образом, координаты искомой точки ( 3,2, 1).

Задача 14. Найти точку М ' , симметричную точке М относительно прямой.

М (3,3,3),	x 1	y 1,5	z 3	.
	1	0	1

1(x 3) 0( y 3) 1(z 3) 0,

x z 0.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

x 1	y 1,5	z 3
1	0	1

(t 1) (t 3) 0, 2t 2 0,

t 1.

x t 1,

y 1,5,z t 3.

M 0 (2;1,5;2) - координаты точки пересечения.

Отсюда,

x			xM xM	x		2x		x		2 2 3 1,
	M0				M '		M0		M
		2

yM yM

2 y

2 1,5 3 0,

M '

zM zM

2 2 3 1.

M '

Следовательно, M '(1,0,1) - искомая точка.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены

сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число

Множество всех сходящихся последовательностей a un , b vn ; сумма un vn ,

произведение un .

Проверим выполнение аксиом для линейного пространства:

А1 : a b b a — выполняется,

А2 : (a b) c a (b c) — выполняется,

А3 :в качества нуля возьмём 0 {0} выполняется,

А4 : в качестве противоположного элемента возьмём a un ,

B1 : a a — выполняется,

B2 : ( a) ( )a — выполняется,

B3 : ( )a a a — выполняется,

B4 : (a b) a b — выполняется.

Т.е. множество всех сходящихся последовательностей с введёнными операциями сложения и умножения на число является линейным пространством.

Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

a{5,4,3},

b3,3,2 ,

c{8,1,3}.

Составляем определитель из координат данных векторов.

	5	4	3
(a, b, c)	3	3	2	45 9 64 (72 10 36) 0.
	8	1	3

Т.к. определитель равен нулю, то данная система векторов линейно зависима.

Задача 3. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).

2x1 x2 2x3 x4 x5 0,x1 10x2 3x3 2x4 x5 0,

4x1 19x2 4x3 5x4 x5 0.

x1 3x2 x3 2x4 1,2x1 7x2 4x3 3x4 3,

x1 4x2 3x3 x4 2.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Решение системы 1.

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду.

2	1 2	2	1	1 10 3 2 1

1	10 3 2		1	2 1 2		1	1
4	19 4 5		1	4 19 4 5 1

1	10 3 2 1			1 10		3 2 1
	21 8 3 3				0 21
0	21 8 3 3				0 21	8 3 3		.
0	21 8	3 3			0 0	0 0 0
0	21 8	3 3			0 0	0 0 0

Полагаем X 3						C1 ,		X 4 C2 ,				X 5	C3 .
																17					4				3
x1 10x2 3c1 2c2 c3												x1						c1					c2				c3
x1 10x2 3c1 2c2 c3												x1						c1			7		c2		7		c3
	21x2 8c1 3c2 3c3															21					7				7
																8				1				1
												x2				8	c1			1		c2		1		c3
				x		c						x2			21		c1			7		c2		7		c3
				x		c									21					7				7
				x43		c12											x3		c1
						c											x4		c2
				x	5	c	3										x4		c2
					5		3										x5		c3
																	x5		c3
Базис:
			17						4					3

			21						7					7
			21						7					7
		8							1				1
X 1						, X 2				, X					.
X 1		21				, X 2			7	, X	1		7		.
			1						0				1
			1						0				1
			0						1				0
			0						0				0
			0						0				0

Размерность линейного пространства решений равна 3.

Решение системы 2.

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводи ее к треугольному виду.

1 3 1				2	1			1	3 1 2 1		1 3		1 2 1
			4	3					1 2				2 1 1
	2 7		4	3	3			0	1 2	1 1		0 1	2 1 1	.
	1 4 3			1	2			0	1 2	1 1		0 0	0 0 0

Полагаем X 3 C1 ,						X 4	C2 , тогда:
x1 3x2 1 c1 2c2									x1 2 5c1 5c2
		x2	1 2c1 c2
		x2	1 2c1 c2						x2 1 2c1 c2
			x3 c1							x3 c1
			x3 c1							x3 c1
			x4 c2							x4 c2
			x4 c2							x4 c2

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Общее решение:
	2				5		5

		1		С1	2		1
X		0		С1	1	С2	0	.
		0			1		0

		0			0		1
		0			0		1
Частное решение при С1						С2	1:
	2
		2
X 4		2
X 4		1	.
		1

		1
		1

Задача 4. Найти координаты вектора x в базисе (e1 ', e2 ', e3 ') , если он задан в базисе

(e1 , e2 , e3 ) .

x {6,3,1}.
		' e1 e2										4
e1														e3		,
e1												3		e3		,
												3
		' 4e1								e2 ,
e2		' 4e1								e2 ,
e		' e e										e			.
3						1					2			3

		1								1			4 / 3

	А			4						1				0				,
										1				1
		1								1				1
																					A	A	A
	А 1				1				Аnp ; Anp												11	21	31
					1													A12				A22	A32	,
					А


				1						1		4 / 3									A13	A23	A33
				1						1		4 / 3
	A			4						1				0				1.
	A			4						1				0				1.
			1							1				1
	A11 1, A12 4,													A13 3.
	A							1	, A							7			, A 2.
	A								, A										, A 2.
21						3				22						3					23
						3										3
	A						4			, A							16			,	A 5.
31						3				32						3					33
						3										3
				1							1/ 3								4 / 3						1		4	3
	А 1																						Т			1/ 3	7 / 3
	А 1					4						7 / 3 16 / 3 ; А 1														1/ 3	7 / 3	2	;
						3						2									5					4 / 3	16 / 3	5
						3						2									5					4 / 3	16 / 3	5

x' ( A 1 )T x;

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

x'	1		4	3	6	15

y'		1/ 3	7 / 3	2	3		7	,
		4 / 3	16 / 3	5	1		19
z'		4 / 3	16 / 3	5	1		19

значит координаты x {6,3,1}относительно базиса {e1' , e2' , e3' } будут {15, 7, 19}.

Задача 5. Пусть x (x1 , x2 , x3 ) . Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax (6x1 5x2 4x3 ,3x1 2x2 x3 , x2 ),

Bx (6x1 5x2 4,3x1 2x2 x3 , x2 ),

Cx (6x1 5x2 4x33 ,3x1 2x2 x3 ,0).

Здесь линейным преобразованием будет преобразование А, т. к. при линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора.

Матрица линейного оператора А:

6		5	4

А	3	2	1	.
	0	1	0
	0	1	0

Задача 6. Пусть x {x1 , x2 , x3}, Ax {x2 x3 , x1 , x1 x3}, Bx {x2 ,2x3 , x1}. Найти:

B2 A x.

X {x1 ; x2 ; x3}, Ax {x2 x3 ; x1; x1 x3}, Bx {x2 ;2x3 ;x1}

0 1			0	0 1			0	0 0			2

B 2 B B	0	0	2		0	0	2		2	0	0	,
	1	0	0		1	0	0		0	1	0
	1	0	0		1	0	0		0	1	0

	0 0			2	0 1			1	0		1	1
B 2 A		2	0	0		1	0	0		3	0	0	,

		0	1	0		1	0	1		1	1	1
		0	1	0		1	0	1		1	1	1

			0		1		1			x						x		x
	2	A)x										1					2				3
(B	2	A)x		3	0		0				x	2					3x						,
												2							1
				1	1		1			x		3		x x					2	x		3
												3			1				2			3
т.е.	B	2 A x {x				2	x		;3x ; x x						2	x }.
						2		3			1		1		2				3
Задача 7. Найти матрицу линейного оператора в базисе (e1 ', e2 ', e3 ') , где
e1 ' e1 e2 e3 , e2 ' e1 e2													2e3 , e3 ' e1										2e2 e3 , если она задана в базисе
(e1 , e2 , e3 ) .
А'?, A' T 1 A T

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

2 0			1	1		1	1

A	0	1	1	, Т	1	1	2	.
	1	1	1		1	2	1

Найдем Т 1 .
			1	1	5		3	1
		1	1	1	5		3	1

	Т	1	1	2	1, T 1	3	2	1	.
		1	2	1		1	1	0
		1	2	1		1	1	0

5		3	1 2 0			1 1		1	1

A'	3	2	1	0	1	1	1	1	2
	1	1	0	1	1		1	2	1
	1	1	0	1	1	1	1	2	1

11		4	1 1		1	1	6		5	4

	7	3	0	1	1	2		4	4	1	.
	2	1	0	1	2	1		1	1 0
	2	1	0	1	2	1		1	1 0

Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i, j, k ), образ и ядро оператора

поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол 2 .

Если x {x1 , x2 , x3 }, то Ax {x2 , x1 , x3 } .

Оператор является линейным, если

A x Ax и A(x y) Ax Ay .

x ( x1 ; x2 ; x3 ) A( x) ( x2 ; x1 ; x3 ) Ax . x y {x1 y1 ; x2 y2 ; x3 y3}.

A(x y) {x2 y2 ; x1 y1 ; x3 y3}.

0		1	0

Т.е. оператор А является линейным и его матрица A	1	0	0	.
	0	0	1
	0	0	1

Область значений оператора А — это множество всех векторов y Ax {x2 ; x1 ; x3}.

Ядро линейного оператора — множество векторов, которые А отображает в нуль-вектор:

KerA {0;0;0}.

Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

2		1	0
	1
	1	2	0	.
	1	1	1
	1	1	1

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Составляет характеристическое уравнение и находим его решение.

2	1	0
2	1	0
1	2	0	0,
1	1	1

(2 )(2 )(1 ) (1 ) 0, (1 )(2 4 3) 0, ( 1)2 ( 3) 0.

Собственные значения: 1,2 1, 3 3.

Найдем собственные вектора.

x1 x2 0

1,2 1, x1 x2 0x1 x2 0

x1 x2 03 3, x1 x2 0

x1 x2 2x3 0

Собственные вектора:

x	C
1	1
x2	C1	;
	C2
x3	C2

x1 C1

x2 C1 .x3 C1

	1			0			1

X1	1	, X	2	0	, X	3	1 .
	0			1			1
	0			1			1

Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

4x12 8x1x2 4x1x3 3x22 2x32.

4x12 8x1 x2 4x1 x3 3x22 2x32 (2x1 )2 2 2x1 2x2 2 2x1 x3

2 2x	2	x	3	(2x	2	)2 x2		x2		x2	(2x 2x	2	x	3	)2 x2	x2
	2		3		2		3		2	3	1	2		3	2	3
y 2 y 2				y 2 ,
1		2		3
где y1 2x1 2x2							x3 , y2		x2 , y3		x3 .

Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным

преобразованием.

x2		x2		3x2	2x x 6x x 6x x .
1			2	3		1	2	1		3	2	3
		1		1		3
	А		1	1
	А		1	1		3 ,
			3	3
			3	3		3
	1			1		3			(1 )2 ( 3 ) 9 9 9(1 )
	1			1		3
	1			1			3
	3			3		3
9(1 ) (3 ) 3									52		12 36.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2726 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025121 Кб25ballov-75211.rtf
#
05.08.2019165 Кб156-16.docx
#
01.05.202567 Кб36. Экономическая часть.docx
#
23.09.201942 Кб760-82.docx
#
01.04.202599 Кб361-66_2novoe.doc
#
16.05.20158 Мб30626266.pdf
#
25.09.2019241 Кб1464-70, 115.docx
#
22.09.2019605 Кб1866-100.doc
#
01.04.2025574 Кб166-73.docx
#
23.09.201979 Кб177-12.docx
#
01.07.202585 Кб17-Нормир. нов.doc