Методические указания к выполнению расчетно-ргафической работы

Задача 1

Для нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений элементов матрицы А используется формула , где- алгебраическое дополнение к элементу, которое вычисляется по формуле,- минор элемента, получаемый вычеркиваниеi-ой строки и j-го столбца матрицы А. Например, для матрицы .

Проверка производится путем вычисления произведения АА^-1 или А^-1А, которые должны получиться равными единичной матрице Е.

Для нахождения матрицы вторым способом используются следующие элементарные преобразования над строками матрицы:

1. любые строки матрицы можно менять местами;

2. любую строку матрицы можно умножить на любое число отличное от нуля;

3. любую строку матрицы можно сложить с любой другой строкой, умноженной на любое число отличное от нуля.

Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований.

Присоединим к матрице А единичную матрицу такого же размера.

.

Используя элементарные преобразования над строками матрицы на месте матрицы А получим единичную, тогда на месте единичной матрицы получится матрица А^-1.

Получим нули в первом столбце:



Получим нули во втором столбце:



Получим нули в третьем столбце:



Получим единицы на главной диагонали:

.

Таким образом, .

Задача 2

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса нужно:

1. составить расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести ее к ступенчатому виду;

2. записать систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице;

3. решить полученную систему, начиная с третьего уравнения.

Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится по формулам: , где  определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, _i – определитель полученный из определителя  путем замены i-го столбца столбцом свободных членов.

Для решения системы линейных уравнений матричным методом необходимо выписать матрицу А, составленную из коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов В и столбец неизвестных Х. Тогда система будет равносильна матричному уравнению АХ=В, решение которого находится по формуле Х=А^-1В.

Задача 3

Рассмотрим пример.

1. Запишем систему уравнений:

2. Определим ранг матрицы, выберем главные и свободные неизвестные

.

rang A=33 главные неизвестные. Так как всех неизвестных 5, главных 3, то свободных неизвестных будет 5-3=2.

Проверим могут ли х₁, х₂, х₃ быть главными неизвестными, для этого определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, должен быть отличен от нуля.

х₁, х₂, х₃ - главные неизвестные. Значит х₄ и х₅ – свободные неизвестные.

3. Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице.

4. Найдем частное решение системы . Для этого всем свободным неизвестным придадим значение 0 и вычислим соответствующие значения главных неизвестных.

Пусть х₄ = х₅=0, тогда

Следовательно,

5. Запишем соответствующую однородную систему и найдем ее общее решение . Для этого необходимо поочередно придать одной из свободных неизвестных значение 1, остальным свободным неизвестным значение 0 и вычислить соответствующие значения главных неизвестных.

Пусть х₄=1, х₅=0, тогда

Следовательно,

Пусть х₄=0, х₅=1, тогда

Следовательно,

6. Запишем общее решение неоднородной системы.

=+

=

Задача 4

Для того чтобы вычислить длины диагоналей параллелограмма и острый угол между ними необходимо выразить диагонали параллелограмма через векторы и . Для этого следует использовать операции над векторами.

При выполнении этого задания потребуется знание следующих формул:

– длина вектора,

– острый угол между векторами ,

S_парал.= – площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Задача 5

Для выполнения этого задания потребуются следующие формулы:

1. А(х₁,у₁,z₁), В(х₂,у₂,z₂), – координаты вектора ;

2. ; – длина вектора ;

3. , ;

- острый угол между векторами ;

4. S_= – площадь треугольника, построенного на векторах ;

5. V_пир-да= – объем пирамиды, построенной на векторах , ; .

Задача 6

Рассмотрим пример решения.

1. Найдем собственные значения матрицы А. Для этого составим и решим характеристическое уравнение |А-Е|=0.

А-Е=.

=0.

(6-)

(6-)((3-)(6-)-9)-(1(6-)-0)=0

(6-)(²-6-3+18-9)-(6-)=0

(6-)(²-9+9-1)=0

(6-)(²-9+8)=0

6-=0 или ²-9+8=0

₁=6 Д=81-48=49

₂=1; ₃=8 – собственные значения матрицы А.

2. Найдем собственные векторы. Для этого составим и решим систему уравнений (А-Е).

а) Для ₁=6.

rangA = 2  2 главные неизвестные

Пусть х₃ – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х₃=1, тогда:

– собственный вектор для ₁=6.

б) Для ₂=1.

rangA = 2  2 главные неизвестные

Пусть х₃ – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х₃=1, тогда:

– собственный вектор для ₂=1.

в) Для ₃=8.

  

 rangA = 2  2 главные неизвестные.

Пусть х₃ – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х₃=1, тогда:

– собственный вектор для ₃=8.

Задача 7.

Рассмотрим пример.

1. Построим прямые (рис.1):

1. ; 2) ; 3).

х1	0	2		х1	0	2		х1	0	-3
х2	6	0		х2	1	0		х2	2	0

2. Для каждой прямой определим полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой, и подставим ее координаты в неравенство. Если неравенство будет верным, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство будет неверным, то решением неравенства будет полуплоскость по другую сторону прямой.

1. Возьмем, например, точку О(0;0): 30+06 (верно), значит решением неравенства будет полуплоскость, содержащая эту точку.

2. Возьмем точку О(0;0) и подставим ее координаты во второе неравенство: 0+01 (неверно). Значит, решением неравенства является полуплоскость, не содержащая точку О.

3. Выберем, например, точку О(0;0) и подставим ее координаты в третье неравенство: -20+306 (верно). Значит, решением неравенства является полуплоскость, содержащая точку О.

3. Решением системы неравенств будет область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого из неравенств системы. В данном примере решением системы является область АВСDEFG. Так как по условию х₁>0 и x₂>0, то области АВС и EFG исключаются из решения. Таким образом, получаем область АСDEG, в которой координаты всех точек, кроме D известны. Найдем координаты точки D. Необходимо решить систему уравнений:

ее решением будет т..

Ответ: АСDEG – область решений системы.

Задача 8. Рассмотрим пример.

Даны координаты вершин треугольника :,,. Найти: 1) длину стороны; 2) уравнения сторонии их угловые коэффициенты; 3) внутренний уголв радианах с точностью до; 4) уравнение высотыи ее длину, не используя координаты точки; 5) уравнение медианы; 6) точку пересечения высот треугольника. Сделать чертеж.

Решение: Сделаем чертеж:

1. Расстояние между точками инаходится по формуле.

В данном случае .

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости иимеет вид.

Следовательно, для прямой имеем– общее уравнение прямой.

Аналогично, для прямой имеем– общее уравнение прямой.

Найдем угловые коэффициенты прямых и. Для этого перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

Для прямой имеем, то есть– угловой коэффициент прямой. Для прямойполучим, значит– угловой коэффициент прямой.

3. Учитывая, что угол острый, воспользуемся формулой.

Имеем , откуда

4. Для нахождения уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точкус заданным угловым коэффициентом:.

В данном случае ;(координаты точки). Так как прямыеиперпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением, откуда. Значит, уравнение высотыбудет иметь вид:или.

Для нахождения длины высоты воспользуемся формулой расстоянияот заданной точкидо прямой: .

В данном случае ,(координаты точки);;;(коэффициенты из общего уравнения прямой). Следовательно,.

5. Уравнение медианы составим, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как – медиана, то координаты точкинайдем как координаты середины отрезка:;, то есть. Тогда уравнение медианыбудет иметь вид:или.

6. Для нахождения координат точки пересечения высот треугольниканайдем уравнение высоты.

Уравнение высоты находим по формуле. По условию,. Так как прямыеиперпендикулярны, то;. Значит, уравнение высотыбудет иметь видили.

Составляем и решаем систему уравнений: Значит,.

Задача 9

Для нахождения канонических уравнений прямых А₁А₂ и А₁А₄ могут быть использованы формулы:

- уравнение прямой по двум точкам (х₁,y_1, z₁) и (х₂,y_2,z₂);

- каноническое уравнение прямой, где

(х₀,y_0, z₀) – координаты точки, принадлежащей прямой, {m,n,p} – координаты направляющего вектора прямой. Для нахождения угла между прямыми следует воспользоваться формулой:

, где – направляющие векторы прямых.

Для составления уравнения плоскости можно пользоваться формулами:

, где ,,- координаты точек, принадлежащих плоскости, или А()+В()+С()=0, где - координаты точки, принадлежащей плоскости, {A,B,C} – координаты вектора нормали для плоскости.

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

,

где – направляющий вектор прямой, {A,B,C} – вектор нормали к плоскости.

Для составления уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ следует воспользоваться условием перпендикулярности прямой и плоскости: || и каноническим уравнением прямой.

Для нахождения расстояния от точки А₄ до грани А₁А₂А₃ следует воспользоваться формулой:

где Ах+Ву+Сz+D=0 – уравнение плоскости; - координаты точки.

Задача 10

Решить графически неравенство 2х²-2ху+2у²+6х-6у-60.

Для того чтобы решить графически неравенство необходимо построить график функции, заданной в неравенстве, и определить область, которая соответствует неравенству.

Приведем уравнение кривой, заданной в неравенстве, к каноническому виду, а затем построим ее.

1. Определим угол поворота осей координат. Для этого используются формулы:

где А и С коэффициенты при х² и у² соответственно, 2В – коэффициент при ху.

В нашем случае А=2; 2В=-2, С=2, тогда Отсюда , следовательно, ).

2. Используя формулы преобразования координат, выразим старые переменные через новые.

x=x'cos-y'sin=x'cos45-y'sin45=(x'-y');

x=x'sin+y'cos- =x'sin45+y'co 45=(x'+y').

Полученные выражения для х и у подготовим в уравнение кривой.

2((x'-y'))²-2(x'-y')(x'+y')+2((x'-y'))²+6(x'-y')- 6(x'+y')-6=0.

После преобразования получаем x'²+3y'²-6y'-6=0.

3. Выполним параллельный перенос системы координат. Для этого выделим полный квадрат, в данном случае, по переменной у, чтобы определить новый центр координат.

x'²+3(y'²-2y'+²)- 3² -6=0,

x'²+3(y'-) ²=12.

Сделаем замену переменных:

х"=x'

y"=y'-. Следовательно, О'(0;) – новый центр координат.

Замечание 1

После подстановки выражений для х и у в уравнение кривой могут получиться уравнения вида:

1. ax'²+bx'+cy'²+dy'+f=0. В этом случае полные квадраты следует выделять по переменным x' и y'.

2. ax'²+dy'+f=0 или cy'²+bx'+f=0. В этом случае уравнения следует записывать в виде:

ax'²+d(y'+)=0 или су'²+b(x'+)=0 и сделать замену переменных следующим образом:

x"=x' или x"=x'+

y"=y'+ y"=y'

3. ax'²+bx'+dy'+f=0 или cy'²+dy'+bx'+ f=0. В этом случае сначала необходимо выделить полные квадраты (в первом уравнении по переменной х', во втором – по у'), потом линейную часть уравнения представить так, как описано в пункте 2 этого замечания, а затем ввести замену переменных.

Таким образом, получим:

x"²+3y"²=12 или – уравнение эллипса.

1. Построим систему координат Оху (рис.2).

2. Построим систему координат Ох'y'. Для этого повернем оси на угол =45 против часовой стрелки.

3. В системе координат Ох'y' отметим точку О'(0;).

4. Построим систему координат О'x"y". Для этого через точку О' параллельно осям х' и y' проведем оси х" и y".

5. В

   x"

   y

   системе координат О'x"y" построим эллипс .

x'

y"

y'

0'

x

0

-2

6. Определяем область решения неравенства. Построенный эллипс разбил плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. В системе координат Оху выберем произвольную точку, не лежащую на кривой, например, т.О(0;0) и подставим ее координаты в исходное равенство. 20²-200+20²+60-60-60, -60 – верно.

Значит, множеством решений неравенства будет область, которой принадлежит выбранная точка О, т.е. внутренняя часть эллипса.

Замечание 2

Если бы после подстановки выбранной точки в исходное неравенство получилось бы неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства являлась бы область, которой выбранная точка не принадлежит.