§8. Умножение векторов
Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(8.1).
Эту формулу можно записать в виде
.
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
- переместительный закон.
- распределительный закон
,
отсюда
Если
,
то
- условие перпендикулярности векторов
и
,
- вектор силы,
- вектор перемещения,
- работа силы
.
Если
и
заданы в прямоугольной системе координат
,
то
(8.2).
Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.
Рис. 7.
Векторным произведением вектора
на вектор
называется третий вектор
,
длина которого равна
,
он перпендикулярен векторам
и
и направлен в ту сторону, что векторы
и
образуют правую тройку.
Векторное
произведение обозначается
.
Векторное произведение имеет следующие свойства:
Если , то
,
где
- площадь параллелограмма, построенного
на этих векторах как на сторонах.
Если векторы
и
заданы в прямоугольной системе координат:
и
,
то:
(8.3).
Если
вектор силы, приложенной в точке
,
а
радиус-вектор точки
,
то момент силы
,
относительно начала координат
равен:
.
Смешанным произведением трех векторов
и
называется их векторно-скалярное
произведение. Обозначается
.
Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:
(8.4).
Свойства смешанного произведения векторов:
- условие компланарности векторов;
- объем параллелепипеда, построенного
на векторах, как на сторонах;
- циклическая перестановка сомножителей
не меняет величины смешанного
произведения;
Пример 11. Даны вершины пирамиды
.
Найти 1) угол между ребром
и
гранью
;
2) площадь грани
;
3) объем пирамиды
;
4) длину высоты, опущенной из вершины
на грань
.
Решение.
Вычислим координаты вектора
:
.
Угол
между ребром
и
гранью
является дополнительным углом для угла
,
образованного перпендикуляром,
проведенным к плоскости треугольника
и ребром
.
.
Для нахождения
вычислим координаты векторного
произведения векторов
и
:
;
.
.
;
.
Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах
и
,
т.е.
.
Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,
построенного
на ребрах
и
.
Следовательно
.
Длина высоты
определяется из формулы:
;
.
Ответ:
;
;
;
.