3.2 Плоский напружений стан

Оскільки при плоскому напруженому стані дві грані елементарного паралелепіпеда вільні від напружень, то для спрощення міркувань сумістимо ці грані з площиною рисунку (рисунок 3.2).

Якщо напруження _x , _y i _yx відомі, то можна визначити напруження на довільній площадці, повернутій на кут відносно площадки, на якій діє напруження(рисунок 3.2)

(3.2)

(3.3)

Кут вважається додатним, якщо він відкладається проти руху годинникової стрілки. Розтягувальні нормальні напруження будемо

Рисунок 3.2

вважати додатними, а стискувальні  від'ємними. Знак дотичних напружень залежить від системи координат: якщо зовнішня нормаль до площадки збігається з напрямом відповідної осі координат, то на цій площадці 0, коли його напрям збігається з напрямом другої осі координат. Якщо зовнішня нормаль протилежна напряму осі (невидимі грані на рисунку 3.1), то 0 тоді, коли воно також протилежне своїй координатній осі( на рисунку 3.1 всі

 і  додатні). Якщо осі координат повернути на 90^, то дотичні напруження змінюють знак на протилежний.

На площадці повернутій на кут  +90^ по відношенню до площадки з напруженням _х (рисунок 3.2)

(3.4)

із (3.2) і (3.4) випливає, що

(3.5)

тобто сума нормальних напружень , що діють на двох взаємно перпендикулярних площадках величина стала.

3.3 Головні площадки і головні напруження

Знайдемо положення головних площадок. На головних площадках дотичні напруження дорівнюють нулю, тому прирівнявши вираз (3.3) до нуля, знайдемо

звідки

(3.6)

Формула (3.6) дає два значення кута і, які і визначають положення двох головних площадок. Якщо_x  _y i _yx  0 то ₀ буде додатним (рисунок 3.3).

Головні напруження можна визначити за формулами (3.2) і (3.4) якщо замість  підставити ₀ і ₀+, знайдені за формулою (3.6). Після нескладних перетворень одержимо

(3.7)

Рисунок 3.3

Легко показати, що головні напруження мають екстремальні значення: одне з них є найбільшим з усіх нормальних напружень, які діють на численних площадках, що проходять через дану точку, а друге напруження  найменшим. На площадках, нахилених під кутом 45 до головних, діють екстремальні дотичні напруження, які рівні (3.8)

Нормальні напруження на цих площадках

(3.9)

3.4 Узагальнений закон Гука

Досліджуючи деформації і розглядаючи питання міцності при об'ємному та плоскому напружених станах, будемо в відповідності з основними гіпотезами і припущеннями вважати, що матеріал поводиться згідно з законом Гука, а деформації малі. В розділі 2 було розглянуто залежність між напруженням та деформацією при простому розтяганні або стисканні, тобто при лінійному напруженому стані.

Зв'язок між відносними деформаціями і напруженнями при об'ємному напруженому стані має вигляд

(3.10)

де   коефіцієнт Пуассона, E  модуль Юнга, G  модуль зсуву.

Співвідношення (3.10) є аналітичним виразом узагальненого закону Гука для ізотропного тіла.

В головних напруженнях формули (3.10) мають вигляд

(3.11)