Предметний покажчик

366

367

368

369

370

371

ЗМІСТ

Арифметика

Звичайні дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. . . . . .

Порівняння звичайних дробів . . . . . . . . . . . . . . .12. . . . .

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12. . . . . .

Додавання і віднімання мішаних чисел з однаковими знаменниками . . . . . . . . . . . . . . . 13. . . . . .

Десяткові дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. . . . . .

Властивості десяткового дробу . . . . . . . . . . . . . . .14. . . . .

Дії з десятковими дробами . . . . . . . . . . . . . . . . .14. . . . . .

Додавання та віднімання . . . . . . . . . . . . . . . . .14. . . . . .

Множення та ділення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. . . . . .

Ділення на натуральне число . . . . . . . . . . . . . . .16. . . . .

Окремі випадки множення та ділення десяткових дробів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. . . . . .

Порівняння та округлення натуральних чисел і десяткових дробів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17. . . . . .

Порівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. . . . . .

Округлення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. . . . . .

372

Перетворення звичайного дробу на десятковий і навпаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18. . . . . .

Середнє арифметичне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18. . . . . .

Відсотки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. . . . . . .

Масштаб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. . . . . . .

Діаграми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. . . . . . .

Числовий промінь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21. . . . . .

Подільність натуральних чисел . . . . . . . . . . . . . .22. . . . .

Дільники і кратні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22. . . . . .

Основна властивість дробу . . . . . . . . . . . . . . . . .28. . . . . .

Застосування основної властивості дробу . . . . . . . 28. . .

Зведення дробів до спільного знаменника . . . . . . . . 29. . .

Порівняння, додавання та віднімання дробів . . . . . . 30. . Перетворення звичайних дробів на десяткові . . . . . . 31. . Множення звичайних дробів . . . . . . . . . . . . . . . 33. . . . . .

Взаємно обернені числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34. . . . . .

Ділення звичайних дробів . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. . . . . . .

Знаходження дробу від числа і числа за даним значенням його дробу . . . . . . . . . . . . . 34. . . . .

Відношення та пропорції . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. . . . . . .

Основна властивість пропорції . . . . . . . . . . . . . . .35. . . . .

Пряма та обернена пропорційність . . . . . . . . . . . . 36. . . . .

Приклади розв’язування типових завдань . . . . . . .37. .

Рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. . . . . . .

Задачі на дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. . . . . . .

Задачі на рух . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39. . . . . .

Комбінаторні задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. . . . . . .

Задачі на знаходження частини від числа . . . . . . . . 41. . .

373

Задачі на знаходження числа за даним значенням його дробу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43. . . . . .

Задачі на пряму та обернену пропорційність . . . . . . .44. . Задачі на пропорційне ділення . . . . . . . . . . . . . . .45. . . . .

Задачі на відсотки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46. . . . . .

Задачі на спільну роботу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. . . . . .

Розв’язування задач за допомогою рівнянь . . . . . . . .47. .

Алгебра та елементарні функції

дійсні числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. . . . . .

Додатні та від’ємні числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. . . . . .

множини чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. . . . . .

Модуль числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51. . . . .

Властивості додавання . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. . . . . .

Вирази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56. . . . .

Одночлени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57. . . . . .

Многочлени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. . . . . .

Множення одночлена на многочлен . . . . . . . . . . . .60. . . .

Множення многочлена на многочлен . . . . . . . . . . . 60. . . .

Спосіб групування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. . . . . .

Формули скороченого множення . . . . . . . . . . . . . 62. . . . .

374

Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники . . . . . . . . . . . . . . . . .64. . . . . .

Раціональні вирази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. . . . . . .

Основна властивість дробу.. Скорочення дробів . . . . . 65. . Додавання та віднімання дробів . . . . . . . . . . . . . .66. . . . .

Множення, ділення й піднесення до степеня дробів .. .. .. 68 Перетворення раціональних виразів . . . . . . . . . . . 69. . . .

корені. ірраціональні вирази . . . . . . . . . . . . . . . . 69. . . . . .

Квадратний корень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. . . . . . .

Властивості арифметичного квадратного кореня .. .. .. .. 70

Перетворення виразів з коренями .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 71

Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. . . . . .

Кoрінь n-го степеня та його властивості . . . . . . . . . .72. . .

Найпростіші перетворення радикалів . . . . . . . . . . 73. . . .

Узагальнення поняття степеня . . . . . . . . . . . . . . .75. . . . .

Логарифм числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. . . . . . .

Властивості логарифмів . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77. . . . . .

Модуль і його властивості . . . . . . . . . . . . . . . . .78. . . . . .

Властивості модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. . . . . . .

Функції та графіки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81. . . . . .

Властивості функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. . . . . . .

Перетворення графіків функцій . . . . . . . . . . . . . . 91. . . . .

375

Показникова функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. . . . . .

Логарифмічна функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. . . . . . .

Тригонометричні функції . . . . . . . . . . . . . . . . .103. . . . . .

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу . . . . . . . . . . . . . . 105. . . . . .

Формули зведення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106. . . . . . .

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій . . . . . . . . . . . . . . .107. . . . . .

Формули перетворення добутку тригонометричних

Основні властивості рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . 121. . . . . . .

Квадратні рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. . . . . . .

Теорема Вієта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129. . . . . . .

Рівняння, що зводяться до квадратних . . . . . . . . . 130. . .

376

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132. . . . . . .

Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135. . . . . . .

Ірраціональні рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141. . . . . . .

Показникові рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145. . . . . . .

Розв’язування показникових рівнянь . . . . . . . . . 145. . . .

Розв’язування показниково-степеневих рівнянь . . .149. Розв’язування логарифмічних рівнянь . . . . . . . . . .149. . . .

Розв’язування рівнянь графічним способом . . . . . . .153. . .

Системи рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154. . . . . . .

Лінійне рівняння з двома невідомими . . . . . . . . . .154. . .

Графік лінійного рівняння з двома невідомими . . . 155. . Системи лінійних рівнянь з двома невідомими . . . . .156. .

Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156. . . . . . .

Розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158. . . . . . .

Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159. . . . . . .

Розв’язування систем рівнянь другого степеня . . . . .161. . Приклади розв’язування систем тригонометричних рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163. . . . . . .

Нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165. . . . . . .

Властивості числових нерівностей . . . . . . . . . . . .166. . . . .

Нерівності з однією змінною . . . . . . . . . . . . . . . 167. . . . . . .

Числові проміжки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167. . . . . . .

Властивості нерівностей зі змінними . . . . . . . . . . 169. . . . .

Нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним . . . . . . . . . . . . . . . . .170. . . . . . .

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170. . . . . . .

Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. . . . . . . .

Ірраціональні нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . .174. . . . . . .

Розв’язування показникових нерівностей . . . . . . . .175. . .

Логарифмічні нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . .176. . . . . . .

Системи нерівностей з однією змінною . . . . . . . . 179. . . .

377

Елементи математичного аналізу

Послідовності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182. . . . . .

Арифметична прогресія . . . . . . . . . . . . . . . . . .183. . . . . .

Геометрична прогресія . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184. . . . . . .

Границя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185. . . . . . .

Границя числової послідовності . . . . . . . . . . . . . 185. . . . .

Похідна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194. . . . . . .

Похідні елементарних функцій . . . . . . . . . . . . . 194. . . . .

Арифметичні операції над диференційованими функціями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195. . . . . . .

Застосування похідної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196. . . . . .

Найбільше і найменше значення функції

на відрізку [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197. . . . . . .

Дослідження властивостей функції і побудова її графіка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198. . . . . .

Інтеграл і його застосування . . . . . . . . . . . . . . .198. . . . .

Таблиця первісних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199. . . . . . .

Властивості інтеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201. . . . . . .

Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . .201. . . . . .

Комбінаторика. Початки теорії ймовірностей. Математична статистика

Елементи комбінаторики . . . . . . . . . . . . . . . . .202. . . . . .

Початки теорії ймовірностей . . . . . . . . . . . . . . .205. . . . .

378

Геометрія

Планіметрія

Основні властивості найпростіших геометричних фігур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209. . . . . . . .

Аксіоми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210. . . . . . .

Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210. . . . . . .

Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211. . . . . . .

Суміжні й вертикальні кути . . . . . . . . . . . . . . . 215. . . . . . .

Властивості суміжних кутів . . . . . . . . . . . . . . 215. . . . . .

Властивості вертикальних кутів . . . . . . . . . . . .216. . . . .

Перпендикуляр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216. . . . . . .

Паралельні прямі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217. . . . . . .

Властивості паралельних прямих . . . . . . . . . . . 218. . . . .

Ознаки паралельності прямих . . . . . . . . . . . . . 218. . . . . .

Бісектриса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219. . . . . . . .

Властивості бісектриси . . . . . . . . . . . . . . . . . .219. . . . . . .

Рівнобедрений трикутник . . . . . . . . . . . . . . . . .222. . . . . .

Рівносторонній трикутник . . . . . . . . . . . . . . . . 223. . . . . .

Ознаки рівнобедреного трикутника . . . . . . . . . . . 223. . . .

Сума кутів трикутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224. . . . . . .

Властивості зовнішнього кута . . . . . . . . . . . . . 224. . . . .

Прямокутний трикутник . . . . . . . . . . . . . . . . .224. . . . . .

379

Ознаки рівності прямокутних трикутників . . . . . 225. . Властивість катета, протилежного куту 30° . . . . .225.

Коло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226. . . . . .

Дотична до кола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227. . . . . . .

Геометричне місце точок . . . . . . . . . . . . . . . . . 228. . . . . . .

Пряма й обернена теореми . . . . . . . . . . . . . . . . 229. . . . . .

Доведення від супротивного . . . . . . . . . . . . . . .231. . . . .

Приклади розв’язування типових задач . . . . . . . .232. .

Задача на ознаки рівності трикутників . . . . . . . . 232. . .

Задача на рівнобедрений трикутник . . . . . . . . . .233. . .

Задача на паралельність прямих . . . . . . . . . . . .233. . . .

Задача на суму кутів трикутника . . . . . . . . . . . 234. . . .

Задача на коло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235. . . . . . .

Додаткова побудова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236. . . . . .

Чотирикутники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238. . . . . . .

Паралелограм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239. . . . . .

Прямокутник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243. . . . . .

Властивості прямокутника . . . . . . . . . . . . . . .243. . . . .

Ознаки прямокутника . . . . . . . . . . . . . . . . . 243. . . . . . .

Ромб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243. . . . . .

Властивості ромба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243. . . . . . .

Ознаки ромба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244. . . . . . .

Квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245. . . . . . .

Властивості квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245. . . . . . .

Ознаки квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245. . . . . . .

Трапеція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245. . . . . .

Трикутники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250. . . . . . .

Середня лінія трикутника . . . . . . . . . . . . . . . . .250. . . . . .

Теорема Піфагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252. . . . . .

Перпендикуляр і похила . . . . . . . . . . . . . . . . . .252. . . . . .

Властивості похилих . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253. . . . . . .

380

Нерівність трикутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253. . . . . . .

Співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника . . . . . . . . . . . . . . . . 254. . . . . .

Рух . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256. . . . . . .

Властивості руху . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257. . . . . . .

Симетрія відносно точки . . . . . . . . . . . . . . . . . .257. . . . . . .

Симетрія відносно прямої . . . . . . . . . . . . . . . . .258. . . . . .

Поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259. . . . . . . .

Подібність фігур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261. . . . . . .

Властивості перетворення подібності . . . . . . . . . . 262. . . .

Властивості подібних фігур . . . . . . . . . . . . . . . . 263. . . . . .

Ознаки подібності трикутників . . . . . . . . . . . . 263. . . . .

Подібність прямокутних трикутників . . . . . . . . .264. . .

Подібність рівносторонніх і рівнобедрених трикутників . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266. . . . . . .

Кути, пов’язані з колом . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266. . . . . . .

Розв’язування трикутників . . . . . . . . . . . . . . . . 272. . . . . . .

Теорема косинусів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. . . . . . .

Теорема синусів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274. . . . . . .

Розв’язування трикутників . . . . . . . . . . . . . . . . 275. . . . . . .

Площі фігур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283. . . . . . . .

Площа паралелограма . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284. . . . . . .

Площа прямокутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284. . . . . . .

Площа ромба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285. . . . . . .

Площа квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285. . . . . . . .

Площа трикутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285. . . . . . . .

Площа прямокутного трикутника . . . . . . . . . . . 286. . . .

Площа рівностороннього трикутника . . . . . . . . .286. . .

381

Властивості медіани трикутника . . . . . . . . . . . .286. . . .

Площа трапеції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287. . . . . .

Деякі властивості трапеції . . . . . . . . . . . . . . . 288. . . . . .

Площа чотирикутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289. . . . . . .

Площа круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289. . . . . .

Площі подібних фігур . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290. . . . . .

Стереометрія

Аксіоми стереометрії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291. . . . . .

Перпендикуляр і похила . . . . . . . . . . . . . . . . . 304. . . . . . .

Властивості похилих, проведених з однієї точки до однієї площини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304. . . . . . .

Теорема про три перпендикуляри . . . . . . . . . . . . 305. . . . .

Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315. . . . . . .

Двогранний кут . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315. . . . . .

Тригранний і многогранний кути . . . . . . . . . . . .316. . . . .

Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317. . . . . .

Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317. . . . . .

Паралелепіпед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320. . . . . . .

Піраміда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324. . . . . . .

Правильні многогранники . . . . . . . . . . . . . . . 333. . . . . .

Тіла обертання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334. . . . . .

Циліндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334. . . . . .

Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336. . . . . . .

Зрізаний конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338. . . . . . .

382

Об’єми круглих тіл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342. . . . . . .

Об’єм кулі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343. . . . . . .

Куля, вписана в конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346. . . . . . .

Інші комбінації геометричних тіл . . . . . . . . . . . .346. . . .

Описані кулі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349. . . . . . .

Вписані кулі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351. . . . . . .

Координати та вектори

Декартові координати на площині . . . . . . . . . . . 351. . . . .

Координатна площина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351. . . . . . .

Координати середини відрізка . . . . . . . . . . . . . . 353. . . . .

Відстань між точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353. . . . . . .

Вектори на площині . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355. . . . . . . .

Координати векторa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356. . . . . . . .

Перетворення в просторі . . . . . . . . . . . . . . . . . 363. . . . . . .

Подібність просторових фігур . . . . . . . . . . . . . . .364. . . . .

Вектори в просторі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364. . . . . . .

Предметний покажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366. . . . . . .

383