Задание 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

• неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

• пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через) нужно найти:

2 1 0 ← разряды

31 = k 1 1_N = k·N² + N¹ + N⁰ = k·N² + N + 1

• можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

31 = k₄ k₃ k₂ 1 1_N = k₄·N⁴ + k₃·N³ + k₂·N² + N¹ + N⁰

= k·N² + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель)

Решение:

1. итак, нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2. сложность в том, что и , инеизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что этонатуральные числа

3. из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делителичисла 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом, то есть,– целое число

4. выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

5. из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

6. таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.

Задание 4

Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1):

1. запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

10 = 20₅, 17 = 32₅ .

2. заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли

3. между 20₅ и 32₅ есть еще числа

21₅, 22₅, 23₅, 24₅, 30₅, 31₅.

4. в них 5 цифр 2 (в числе 22₅ – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз

5. таким образом, верный ответ – 7.

Возможные проблемы: нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305 помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза

Решение (вариант 2):

1. переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 20₅, 11 = 21₅, 12 = 22₅, 13 = 23₅, 14 = 24₅, 15 = 30₅, 16 = 31₅, 17 = 32₅ .

2. считаем цифры 2 – получается 7 штук

3. таким образом, верный ответ – 7 .

Задание 5

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение:

1. обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид

2. вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

3. поскольку запись трехзначная, , поэтому

4. с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому

5. объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству

6. учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:

7. минимальное из этих значений – 4

8. таким образом, верный ответ – 4 .

Решение (без подбора):

1. выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения

2. найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как

3. проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна

4. таким образом, верный ответ – 4 .