§ 9. Коэффициент корреляции. Прямая линия регрессии

Часто на практике каждый объект в выборке изучается по двум признакам Х и У с целью исследования зависимости между ними.

Пример: Пусть Х – познавательная активность по предмету, У– успеваемость по этому же предмету учеников в классе.

Допустим, сделана выборка объема n =5:

((3,3), (2,4), (1,5), (1,4), (4,3)).

Здесь первое число в каждой паре – познавательная активность по предмету, а второе число в каждой паре есть успеваемость по этому предмету (в баллах). Каждая пара соответствует одному ученику.

С целью графического изображения выборки по двум признакам Х и У строят корреляционное поле: в системе координат ХОУ отмечают точки с координатами (х_i, у_i). Для нашего примера корреляционное поле выглядит следующим образом:

Успеваемость у

5
4
3
2
Познавательная активность 1
	1	2	3	4	5

х

Для изучения зависимости между Х и У вычисляют выборочный коэффициент корреляцииr_в:

Х

r_в = .

У_в – Х_вУ_в

_в (Х) _в(У)

Здесь ХУ_в – выборочная средняя произведения

ХУ_в = (х₁у₁ + х₂у₂ + … + х_nу_n),

Х_в,У_в – выборочные средние признаков Х,У;

_в (Х), _в(У) – выборочные средние квадратические отклонения.

Всегда –1< r_в <1. Если | r |>0,3, то зависимость сильная, если | r |<0,3 , то зависимость слабая. Если r>0, то зависимость положительная: чем больше Х, тем больше У. Если r<0, то зависимость отрицательная: чем больше Х, тем меньше У.

Найдем выборочный коэффициент корреляции для нашего примера. Вычисления оформим в виде таблицы:

№	Х	У	Х2	У2	ХУ
1	3	3	9	9	9
2	2	4	4	16	8
3	1	5	1	25	5
4	1	4	1	16	4
5	4	3	16	9	12
	11	19	31	75	38

Отсюда

Х_в ==2,2 ; У_в = =3,8 ; Х_в² = = 6,2 ;

У_в² = =15 ; ХУ_в = =7,6

Д_в(У)=15 - 3,8² = 0,56; Д_{в испр.}(У)= 0,56= 0,7;_{в испр.} (У)  0,84;

Д_в (Х) = 6,2 - 2,2² = 1,36; Д_{в испр.} (Х) = 1,36 = 1,7;_{в испр.} (Х)1,30;

r_в =  - 0,7.

Вывод: Зависимость между познавательной активностью и успеваемостью сильная отрицательная: чем выше познавательная активность, тем выше успеваемость.

В корреляционном поле можно построить прямую линию, к которой точки корреляционного поля «наиболее близки». Эта прямая линия называется прямой линией регрессии. Ее уравнение имеет следующий вид:

.

Здесь у_х – среднее значение у при данном х ( у_х – аналог переменной у в уравнении прямой у=кх+ в ).

В нашем примере уравнение регрессии принимает вид

у_х= 3,8 + (- 0,7)(х - 2,2),

у_х = - 0,45х + 4,79.

Построим данную прямую в корреляционном поле по точкам

х	0	5
у	4,79	2,54

5
4
3
2
1
	1	2	3	4	5

По уравнению прямой регрессии можно вычислить среднее значение у_х для данного х. Н айдем у_х при х = 1; при х = 3. Для этого подставим х = 1, затем х = 3 в уравнение регрессии; получаем:

у

–

_{х = 1} = 4,34 (б.) – средняя успеваемость учеников при постоянном увлечении предметом; у_{х = 3} = 3,44 (б.) – средняя успеваемость учеников с периодическим интересом к предмету.