1) 2).

Решение. Если требуется вычислить и если проще вычислитьf(x₀) и , то при достаточно малой по абсолютному значению разностиможно заменить приращение функции ее дифференциаломи тогда приближенное значение искомой величины вычисляется по формуле

1) Будем рассматривать как частное значение функцииприx₁=17. Пусть х₀ =16, тогда

Подставляя в формулу, получим

2) y= arctgx, x₁=0,98, x₀ = 1, dx=0,98-1=-0,02;

Получим

.

6. Исследовать и построить график функции

.

Решение:

1) заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси

;

2) функция нечетная, ибо у(-х) = -у(х), ее график будет симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно построить график для ;

3) график функции пересекается с осями координат только в начале координат, так как у(0) = 0;

4) исследуем функцию на наличие асимптот:

а) вертикальных асимптот график функции не имеет;

б) невертикальная асимптота имеет уравнение у = kх + b.

=

0.

Таким образом, уравнение асимптоты - у = 0;

5) исследуем функцию на экстремум:

;

у' нигде не обращается в нуль; у не существует в точках х = ±1, которые являются критическими.

Исследуем знак производной на интервале [0;∞)

0 1

х = 1 есть точка максимума, ;

6) исследуем график функций на выпуклость и вогнутость:

в точке х = 0; у" не существует в точках х = ±1. Эти точки могут быть абциссами точек перегиба.

Исследуем знак второй производной на интервале [0;∞)

0 1 x

х = 1 не является точкой перегиба.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции на интервале [0;∞), затем симметрично полученному графику относительно начала координат на интервале (- ∞; 0)

Правило Лопиталя

Теорема. Пусть идифференцируемы в некоторой окрестности точкиа (за исключением, может быть, её самой), причём . Тогда еслиили, топри условии, что предел правой части данного равенства существует.

Примеры

1. Найти пределы

1) 2)

3)

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или, применяем правило Лопиталя:

1)

2)

(здесь правило Лопиталя применено дважды);

3) =

=

Преобразование неопределённостей

Правило Лопиталя применимо лишь для раскрытия неопределённостей вида и. Но некоторые функции можно преобразовать и получить неопределённость одного из этих видов:

1) или;

2) ;

3)

Примеры

1. Найти пределы

1) ; 2);

3) ; 4).

1) ;

2)

;

3) этот предел содержит неопределённость вида . Обозначим функциючерезy и прологарифмируем её:

.

Тогда

.

Так как , то.

4) этот предел содержит неопределённость вида . Обозначим функциючерезy и прологарифмируем её:

.

Тогда

.

Так как , то.

Контрольная работа №1

ЧАСТЬ 1

Задание 1. Найти решение неоднородной системы линейных уравнений

а) с помощью правила Крамера;

б) методом Гаусса:

1. 2.

3. 7.

4. 8.

5. 9.

6. 10.

Задание 2. Даны векторы . Необходимо: а). вычислить смешанное произведение векторов, проверить, будут ли они компланарны; б). найти модуль векторного произведения векторов; в). вычислить скалярное произведение векторов; г). проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны вектора.

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

Задание 3. Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C, и D. Вычислить: а). площадь указанной грани; б). площадь сечения, проходящего через середину ребра L и две вершины пирамиды; в). длины указанных рёбер и угол между ними; г). объём пирамиды ABCD.

1). A(5, 2, 4), B(-3, 5, -7), C(1, -5, 8), D(9, -3, 5); а). ABD; б). L=BD, А и С;

в). АВ и AC.

2). A(-7, -6, -5), B(5, 1, -3), C(8, -4, 0), D(3, 4, -7); а). BCD; б). L=AD, B и C; в). DC и DB .

3). A(3, 4, 5), B(1, 2, 1), C(-2, -3, 6), D(3, -6, -3); а). ACD; б). L=AB, C и D; в). BC и BA.

4). A(-4, -2, -3), B(2, 5, 7), C(6, 3, -1), D(6, -4, 1); а). ACD; б). L=BC, A и D; в). CA и CD.

5). A(-6, -3, -5), B(5, 1, 7), C(3, 5, -1), D(4, -2, 9); а). ACD; б). L=BC, A и D; в). AD и AC.

6). A(7, 5, 8), B(-4, -5, 3), C(2, -3, 5), D(5, 1, -4); а). BCD; б). L=BC, A и D; в). СB и CA.

7). A(7, 4, 9), B(1, -2, -3), C(-5, -3, 0), D(1, -3, 4); а). ABD; б). L=AB, C и D; в). BD и BA.

8). A(5, 3, 6), B(-3, -4, 4), C(5, -6, 8), D(4, 0, -3); а). BCD; б). L=BC, A и D; в). AC и AD.

9). A(4, 3, 1), B(2, 7, 5), C(-4, -2, 4), D(2, -3, -5); а). ACD; б). L=AB, C и D; в). DA и DC.

10). A(-5, -3, -4), B(1, 4, 6), C(3, 2, -2), D(8, -2, 4); а). ACD; б). L=BC, A и D; в). AC и AB.

Задание 4. Даны вершины треугольника ABC. Найти:

а). уравнение стороны АВ;

б). уравнение биссектрисы BL;

в). уравнение высоты CH;

г). уравнение медианы AM;

д). точку N пересечения медианы AM и высоты CH;

е). острый угол между высотой CH и медианой AM;

ж). длину высоты CH.

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

Задание 5. Даны четыре точки . Выяснить, лежат ли эти точки в одной плоскости. Если не лежат, сделать следующее:

а). составить уравнение плоскости ;

б). найти расстояние от точки до плоскости;

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).