Варианты заданий контрольной работы № 2
Задача 1. Найти области определения функций:
1.
а)
; б)
2.
а)
; б)
.
3.
а)
;
б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
6.
а)
; б)
.
7.
а)
;
б)
.
8.
а)
; б)
.
9.
а)
. б)
.
10.
а)
; б)
.
Задача 2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. а)
; б)
;
в)
; г)
.
3. а)
; б)
;
в)
; г)
.
4. а)
; б)
;
в)
; г)
.
5. а)
; б)
;
в)
; г)
.
6. а)
; б)
;
в)
; г)
.
7. а)
; б)
;
в)
; г)
.
8. а)
;
б)
;
в)
; г)
;
9. а)
; б)
;
в)
; г)
;
10. а)
; б)
;
в)
; г)
.
Задача
3. Найти
производную
:
а) исходя из определения производной
функции
;
б) используя правила дифференцирования
и формулы таблицы производных основных
элементарных функций; в) сложной функции
;
г) функции, заданной в неявном виде; д)
функции, заданной параметрически:
1.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
3.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
5.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
6.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
7.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
8.
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
9.
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
10.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Задача 4.
-
Найти уравнение касательной и нормали к кривой
в точках пересечения с прямой
. -
Найти уравнение касательной и нормали к кривой
в точке с ординатой
. -
Найти уравнения касательной и нормали к кривой
в точке пересечения с осью
. -
Найти уравнения касательной и нормали к кривой:
в
точке (2;2).
-
Найти уравнения касательной и нормали к кривой
в точке её пересечения с параболой
. -
Составить уравнения касательной и нормали к кривой
в точке с абсциссой
. -
Найти уравнения касательной и нормали к кривой
в точках её пересечения с параболой
. -
Найти уравнения касательной и нормали к кривой
в
точке
.
-
Найти уравнение касательной и нормали к кривой
в точке с абсциссой
. -
Найти уравнение касательной и нормали к кривой
в точке с ординатой
.
Задача 5. Провести полное исследование функции y=f(x) и построить ее график.
План исследования функции.
1). Находим область существования функции.
2). Проверяем функцию на четность и нечетность и периодичность.
3). Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
4). Находим асимптоты графика функции.
5). Вычисляем первую производную функции. Находим интервалы возрастания, убывания функции и точки экстремума.
6). Вычисляем вторую производную функции. Находим интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.
7). Если для построения графика функции полученных данных недостаточно, берем несколько дополнительных точек из области существования функции.
Строим график функции:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
Пример
1.
Найти область
определения функции
.
Решение. Область определения функции в данном случае находим из условия неотрицательности подкоренного выражения:
.
Это дробно-рациональное неравенство. Решаем его методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:
.
2/5 2 3
Область
определения:
.
Пример 2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а). Это неопределенность типа
.
«Раскроем» ее:
б).
Это неопределенность типа
.
Чтобы ее раскрыть, выражения, не содержащие
радикалы, раскладываем на множители.
Среди них обязательно появится скобка,
предельное значение которой 0:
.
При этом используются известные формулы
сокращенного умножения. Выражение с
радикалами, предельное значение которого
0, умножаем и делим на соответствующее
выражение, чтобы в результате применения
формулы также появилась такая же скобка.
в).
В примерах этого типа используется
«первый замечательный предел» или его
следствия. Можно применять цепочку
эквивалентных бесконечно малых:
.
Бесконечно малый сомножитель можем
заменить более простой эквивалентной
величиной.
.
г) Здесь следует применить «второй замечательный предел» или его следствия.
Пример
3. Найти
производную
:
а) исходя из определения производной
функции
;
б) используя правила дифференцирования
и формулы таблицы производных основных
элементарных функций; в) сложной функции
;
г) функции, заданной в неявном виде; д)
функции, заданной параметрически:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Решение.
а)
.
Отсюда следует
Используя определение производной, получаем
.
б) Применяя правила дифференцирования, получим
.
в) Применим формулу дифференцирования сложной функции:
.
.
г)
Если в уравнение, задающее неявную
функцию, подставить решение
,
то уравнение
превращается в тождество. Тождество
можно дифференцировать – равенство не
нарушится. Дифференцируем обе части
соотношения
,
учитывая, что
- функция
:
,
,
,
,
,
Получили
уравнение относительно неизвестной
.
Решая его, находим
.
д) Производную функции, заданной параметрически, определим по формуле
.
Получаем:
.
Пример
4. Найти
уравнение касательной и нормали к кривой
в точке с абсциссой
.
Решение.
Найдем сначала ординату точки с абсциссой
.
Из уравнения линии имеем:
.
Касательная в точке
определяется
уравнением
.
Нормаль определяется уравнением
.
Определим
значение производной
.
Функция в данном случае задана неявно.
Имеем
,
,
,
.
Подставляя найденные значения в уравнения касательной и нормали, получим
-
касательная. Нормаль:
.
Пример
5. Построить
график функции
.
Решение. Проведем полное исследование данной функции по вышеуказанной схеме.
Областью определения функции является вся числовая ось, кроме точек х=1; х=-1.
Функция
нечетная т.к. f(-x)=-f(x).
Для построения графика данной функции
y=f(x)
достаточно исследовать ее для
,
а затем воспользоваться ее симметричностью.
Находим точки пересечения графика функции с осями координат: х=0, у=0, О(0,0)- график функции проходит через начало системы координат.
Находим
асимптоты вертикальные, горизонтальные
и наклонные.
Т.к.
знаменатель обращается в нуль в точках
х=1,
х=-1,
то
,
и прямые х=1;
х=-1.
являются вертикальными асимптотами.
Находим
наклонные асимптоты y=kx+b.
,
.
Кривая
имеет двустороннюю наклонную асимптоту
y=-x.
Вычислим
производную. Находим интервалы
монотонности и точки экстремума
функции:
.
Производная
существует во всех точках числовой оси,
кроме x=1,
x=-1
и равна нулю в точках
.
Следовательно, критическими точками
будут:
.
Исследуем
поведение f'(x)
в окрестности каждой критической точки.
Т.к. данная функция f(x)
нечетная, достаточно рассмотреть знак
f'(x)
на промежутках (-1,0); (0,1); (1,
);
(
,
).
Для наглядности результаты соберем
в таблицу 1.
Таблица 1.
|
x |
-1<x<0 |
x=0 |
0<x<1 |
1<x< |
x= |
|
|
|
+ |
0 |
+ |
+ |
0 |
- |
|
f(x) |
Возрастает |
Нет экстремума |
Возрастает |
Возрастает |
Максимум |
Убывает |
<x<
В
точках x=1,
x=-1
функция не имеет экстремума, так как
эти точки не принадлежат области
определения данной функции. Т.к. функция
f(x)
нечетная,то в точке х=-
функция достигает минимума данной
функции:
Найдем
интервалы выпуклости, вогнутости и
точки перегиба графика данной функции
y=f(x).
Вычислим
вторую производную:
.
Критические
точки данной функции по второй производной
х=0,
х=1,
х=-1.
Точки х=1,
х=-1
не принадлежат области определения
функции, поэтому точкой перегиба кривой
является только точка с абсциссой х=0.
Результаты исследования запишем в
таблицу 2.
Таблица 2.
|
x |
x<-1 |
-1<x<0 |
x=0 |
0<x<1 |
x>1 |
|
Знак
|
+ |
- |
0 |
+ |
- |
|
f(x) |
Кривая вогнута |
Кривая выпукла |
Точка перегиба |
Кривая вогнута |
Кривая выпукла |
Строим график функции:
