Минимизация логических функций

Алгоритм получения МДНФ логической функции:

1. Логическая функция представляется в СДНФ. Причем, если она задана таблицей истинности, то представляют путем записи “по единицам”; если она задана алгебраической произвольной дизъюнктивной форме - путем применения операций развертывания, формул Де Моргана и др.

1. В полученном СДНФ проводят все возможные операции неполного склеивания и затем поглощения. В результате получают сокращенную дизъюнктивную нормальную форму, т.е. дизъюнкцию самых коротких из всех возможных элементарных произведений (простые импликанты), входящие в данную логическую функцию.

2. Находят минимальные дизъюнктивные нормальные формы по импликантной матрице.

Импликантная матрица - это таблица, на вертикальные и горизонтальные входы которой записывают соответственно члены СДНФ и простые импликанты заданной логической функции.

Клетки импликантной матрицы, образованные пересечением строк с импликантами и столбцов с поглощательными ими членами СДНФ, отмечают крестиками [5].

МДНФ находят как дизъюнкцию минимального числа импликант, которые совместно накрывают крестиками все колонки импликантной матрицы.

Пример . Минимизировать логическую функцию:

Решение: 1. Функция задана в алгебраической форме, применяя операции развертывания

получают СДНФ, содержащую шесть членов:

2. Операции склеивания проводят в следующем порядке:

1. выполняются все возможные склеивания 1-ого члена с остальными;

1. выполняются все возможные склеивания 2-ого члена с остальными, кроме 1-ого;

2. выполняются все возможные склеивания 3-ого члена с остальными, кроме 1-ого и второго и т.д.

Склеиваться могут только те члены, у которых число переменных с отрицаниями отличается на единицу.

Результаты склеивания и поглощения:

Звездочками отмечают те члены СДНФ, которые поглощаются произведениями, образовавшимися после склеивания.

В рассматриваемом примере поглощаются все шесть исходных членов, поэтому СДНФ заданной функции имеет вид:

К этому выражению операции склеивания и поглощения применить нельзя, и, следовательно, оно является сокращенной дизъюнктивной нормальной формой логической функции, а его члены - простыми импликантами.

3. Строят для заданной функции импликантную матрицу (табл.1.)

Таблица 1.

Импликантная матрица

Простые	Члены СДНФ
импликанты (минтермы)
	1	2	3	4	5	6
	X	X
		X	X
			X	X
				X	X
					X	X

Для получения МДНФ необходимо найти минимальное число импликант, которые совместно накрывают крестиками все столбцы импликантной матрицы:

Сложность логической функции определяется числом переменных входящих в ее выражение: в заданной функции 14, в минимальной - 9.

Первый алгоритм получения МКНФ логической функции:

1. Логическую функцию представляют в СКНФ. Причем, если она задана таблицей истинности, то ее записывают “ по нулям”; если она задана алгебраически в произвольной конъюктивной форме, то для записи в СКНФ выполняют все возможные операции развертывания.

1. В полученной СКНФ выполняют все возможные операции неполного склеивания и затем поглощения. В результате получают сокращенную конъюнктивную нормальную форму, члены которой являются простыми макстермами.

2. МКНФ находят по макстермной матрице.

Пример . Логическая функция задана табл.1

Таблица 1.

Таблица истинности

x1	x2	x3	f
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Найти МКНФ этой функции.

Решение: 1. Выписывают заданную функцию в СКНФ “по нулям” таблицы истинности:

2. Проводят операции склеивания и поглощения:

В данном примере поглощаются все четыре члена исходного выражения и, следовательно, СКНФ

3. Макстермная матрица задана табл.2.

Таблица 2

Макстермная матрица

Простые импликанты	Члены СКНФ
(макстермы)	1	2	3	4
	X	X
	X			X
			X	X

4. МКНФ логической функции:

.

Второй алгоритм получения МКНФ логической функции:

1. Логическая функция представляется в СДНФ заданной функцией, взятой с отрицанием.

Если функция задана таблицей истинности, то выписывают ряд произведений всех аргументов и соединяют их знаками дизъюнкции; количество произведений должно равняться числу наборов, на которых заданная функция обращается в нуль; под каждым произведением записывают набор аргументов, на которых функция равна нулю, и над аргументами, равными нулю, ставят знаки отрицания.

Если функция заданна алгебраически в произвольной форме, то сначала находят ее СДНФ, а затем записывают дизъюнкцию всех произведений аргументов, которые не вошли в СДНФ.

1. Находят МДНФ по рассмотренному выше алгоритму.

2. От полученной МДНФ берут отрицание и, после преобразований по формулам Де Моргана, получают МКНФ.

Пример 1.12. Найти МКНФ, функции заданной табл.3

Таблица3

Таблица истинности

x1	x2	x3	f
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Решение: 1. СДНФ, взятая с отрицанием:

2. Результаты склеивания и поглощения:

3. МДНФ, взятая с отрицанием:

4. Взяв от обеих частей последнего равенства отрицание и применив формулу Де Моргана, получают МКНФ логической функции:

.

Лекция 2

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из разных объектов.

Рассмотрим примеры, связанные с выбором n шаров из урны содержащей M различных шаров.

Эксперимент – выбор с возвращением. При выборе с возвращением на каждом шаге извлеченный шар возвращается обратно. В этом случае каждая выборка из n шаров может быть записана в виде ( a_1,…, a_n ), где a_i – номер шара, извлеченного на i – м шаге. В случае выбора с возвращением каждое a_i может принимать любое из M значений 1,…, М. Принято различать два случая. Если две выборки одинакового состава, такие, например как (4,1,2,1) и (1,4,2,1) считаем различными, то такие выборки называются упорядоченными. В противном случае выборки называются неупорядоченными. В первом случае выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но отличающиеся порядком следования этих элементов, объявляются различными. Во втором случае порядок следования элементов не принимается во внимание и такие выборки объявляются одинаковыми.

Примером упорядоченной выборки является телефонный номер. Примером неупорядоченной выборки является код механического кодового кнопочного замка. В этом случае нажатие кнопок 1,2,3 и 3,2,1 приведет к одинаковому результату.

ТЕОРЕМА 1: Число N различных способов выбора с возвращением n шаров из урны, содержащей M шаров, равно:

1. В случае упорядоченных выборок N=Мⁿ ;

2. В случае неупорядоченных выборок N=Cⁿ_M+n-1, где

С^m_k=k!/m!(k-m)!, k!=1∙2×…×(k-1)×k.

Неупорядоченные выборки без возвращения называют сочетаниями с повторениями.

Эксперимент - выбор без возвращения. Предположим, что n<=M и что извлеченные шары обратно не возвращаются. В этом случае также рассматриваются две возможности, связанные с различением упорядоченных и неупорядоченных выборок.

ТЕОРЕМА 2. Число N различных способов выбора без возвращения n шаров из урны, содержащей M шаров, равно:

1. В случае упорядоченных выборок

N=M(M-1)…(M-n+1)=M!/(M-n)!. Для этого числа используется

Обозначение Aⁿ_M, называемое числом размещений из M по n без

повторений:

2. В случае неупорядоченных выборок N=Cⁿ_M .

Рассмотрим пример.

Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, вынимают 4 шара. Найти число неупорядоченных наборов таких, что: 1- все четыре шара черные; 2 – два белых шара и два черных шара. Решить задачу для схемы выбора: а) с возвращением; б) без возвращения.

Решение задачи:

Случай с возвращением:

1. В урне 4 черных шара и в нашей выборке должно быть 4 черных шара.

По теореме 1 из комбинаторики, число выборок, где все 4 шара черные, равно 4⁴.

2. В урне 6 белых шаров, из них два можем выбрать (по теореме 1) 6²=36

способами. Два черных шара выбираем 4²=16 способами. Для каждой фиксированной пары белых шаров можем брать любую пару черных, поэтому число выборок, содержащих два белых и два черных, равно 36∙16.

Случай без возвращения:

1. Из 4 черных шаров при выборе без возвращения можно единственным образом

выбрать 4 черных шара. То есть выборка, где все 4 шара черные, одна.

2. Из белых шаров два можно выбрать С²₆ способами (по теореме 2), аналогично два черных шара из четырех выбираем С²₄ способами. Число выборок, состоящих из двух черных и двух белых шаров, равно

6! 4! 6!

С²₆ С²₄ = = = 90.

2!(6-2)! 2!(4-2)! 8