2. Представление рациональных чисел

Представить произвольное вещественное число при помощи конечного числа элементов, способных принимать лишь ограниченный набор значений (а именно таковы все цифры представления), невозможно. Максимум, что можно сделать – это найти то или иное рациональное приближение для такого числа, и оперировать им. Два основных представления рациональных чисел, используемых в компьютерах, – это представления с фиксированной и плавающей точкой.Интерпретирующие системы (например,MathCAD) иногда реализуют и собственно рациональные числа, представляемые в виде целых числителя и знаменателя, но процессоры, умеющие работать с такими числами на уровне системы команд, неизвестны.

Представление с фиксированной точкой.

Представление с фиксированной точкой концептуально самое простое: берем обычное двоичное число и объявляем, что определенное количество его младших разрядов представляет собой дробную часть в позиционной записи. Сложение и вычитание чисел может выполнять при помощи обычных целочисленных команд, а вот после умножения и перед делением нам надо, так или иначе, передвинуть двоичную запятую на место.

Целая часть Дробная часть

=1355+3/16

15 4 3 0

Число с двоичной фиксированной точкой

Современные процессоры обычно не предоставляют арифметических операции с фиксированной точкой, однако никто не запрещает программисту или разработчику компиляторареализовать такие операции на основе стандартных целочисленных операций и команд битового сдвига.

Представление с плавающей точкой.

В научных и инженерных вычислениях и цифровой обработки сигналов широко применяются числа с плавающей двоичной точкой.

Для сокращения записи больших значений, измеренных с относительно небольшой точностью, в научной и инженерной литературе используется экспоненциальная запись чисел: незначащие (в данном случае — лежащие внутри границ ошибки) младшие десятичные отбрасываются, и после числа добавляется 10^N, где N — количество отброшенных цифр. Обычно рекомендуют нормализовать такую запись, перемещая десятичную запятую на место после старшей цифры (смещение запятой на одну позицию влево соответствует увеличению показателя степени множителя на единицу). В соответствии с этими правилами величина 2128506 ± 20 преобразуется к виду 2,12850х10⁶(обратите внимание, что младший ноль в данном случае является значащим).

Вычислительные системы широко используют представления чисел с плавающей точкой, только не десятичной, а двоичной. Идея этого представления состоит в том, чтобы нормализовать позиционную двоичную дробь, избавившись от незначащих старших нулевых битов и освободив ме­сто для [возможно] значащих младших разрядов. Сдвиг, который нужен для нормализации, записывается в битовое поле, называемое порядком. Само же число называется мантиссой.

Порядок Мантисса