Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика конс.2 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.05.2015

Размер:

576 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

G( x, y, C1 ,..., Cn ) = 0 , и зависящее от

ных значениях параметров, называется частным.

Опр. Решение ОДУ, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым

Опр. Решение, заданное в виде неявной функции n произвольных параметров, называется общим интегралом.

Опр. Проинтегрировать ОДУ в явном виде – это значит найти его общее решение в виде элементарной функции. Проинтегрировать ОДУ в квадратурах – это значит найти его общее решение в виде интегралов от элементарных функций.

Пр.

Интегрируемые ОДУ первого и второго порядков

Опр. ОДУ вида	′	= f ( x) g ( y)	или вида f1 ( x) g1 ( y)dx +		+ f2 ( x) g2 ( y)dy = 0		называется ОДУ
	y x
с разделяющимися переменными. ОДУ вида					dy	= f ( x)dx или	вида	f1 ( x)	dx +

				g ( y)				f2 ( x)

+g2 ( y) dy = 0 называется ОДУ с разделенными переменными. g1 ( y)

ЗАМЕЧАНИЕ Решения этих уравнений выписываются в квадратурах:

∫

dy = ∫ f ( x)dx , ∫

f1 ( x)

dx + ∫

g 2 ( y)

dy = 0 .

g ( y)

( x)

( y)

_____

Опр. Функция F ( x, y)

называется однородной функцией степени k , если

λ > 0 ( x, y)

F (λ x, λ y) = λ k F ( x, y) .

′

или вида M

( x, y)dx +

+ N ( x, y)dy = 0 называется однородным,

Опр. ОДУ вида y x = f ( x, y)

если соответственно

f ( x, y)

- однородная функция нулевой степени, M ( x, y), N ( x, y) -

однородные функции одинаковой степени.

ЗАМЕЧАНИЕ Однородное ОДУ преобразуется в ОДУ с разделяющимися перемен

ными, если зависимую переменную y заменить на z						по формуле y = x z .
				_____
′	+ p( x) y = q( x) y	α	,	где	функции	p( x), q( x) заданы и непрерывны,

Опр. ОДУ вида yx
называется уравнением Бернулли,				если	α ≠ 0,1 и	линейным уравнением (ЛДУ) в

противном случае.

ЗАМЕЧАНИЕ Эти ОДУ решаются методом вариации произвольной постоянной. 1) Сначала решается ОДУ с разделяющимися переменными y '+ p( x) y = 0 .

	dy	= − p( x)dx ln y = −∫ p( x)dx = −P( x) + ln C y = Ce− P ( x ) .

	y
2) Решение исходного уравнения y '			+ p( x) y = q( x) yα	ищем в виде y = C( x)e P ( x ) , считая в
		x

предыдущем решении произвольную постоянную зависящей от x (говорят: варьируя произвольную постоянную C ). Для нахождения C( x) подставим это решение в

′	− P ( x )		− P ( x)		− P ( x)	α	−α ∫ p ( x) dx	. После сокращения
′		− Cp( x)e		+ p( x)Ce		= q( x)C	e
исходное уравнение: Сx e		− Cp( x)e		+ p( x)Ce		= q( x)C	e
получаем уравнение с разделяющимися переменными для нахождения C( x) .
				____
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида y' ' = f ( x, y' )								сводится к решению

ОДУ первого порядка z' = f ( x, z) с помощью замены z = y' .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Решение ОДУ второго порядка вида y' ' = f ( y, y' ) сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью замены y' на зависимую переменную p .

Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений

Опр. Нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (НСОДУ)

x′	= f (t , x ,..., x )
1	1		1 1	n
называется система вида ............................ , где функции f1 ,..., f n непрерывны на
x′	= f	n	(t, x ,..., x )
n			1	n

открытом множестве G Rn +1 , а последовательность неизвестных функций x (t ),..., x

(t )

называется решением системы. Число n называется порядком НСОДУ.

Опр.

Если

x1 (t ),..., xn (t ) -

решение НСОДУ в окрестности

точки

t0 ,

то

кривая в

l := {(t, x (t),..., x (t )) Rn +1 : t (t

− ε , t

+ ε )} называется интегральной кривой.

Опр.

Пусть

, x 0

,..., x 0 ) G .

Задачей Коши для НСОДУ с начальными условиями

x1 (t0 ) = x1 ,

называется задача нахождения решения системы в окрестности точки t0 ,

.............

xn (t

0 ) = xn

которое удовлетворяет этим условиям.

Пр.

Решение задачи Коши для ОДУ n − го порядка y ( n) = f (t, y,..., y ( n−1) )

с начальными

условиями

y(t

) = x 0 ,..., y ( n−1) (t

) = x 0

равносильно нахождению решения задачи Коши

x′

= x

для НСОДУ

...........

с начальными условиями x (t

) = x 0

) = x 0 .

,..., x

x′

= x

−1

x′

= f (t, x ,..., x )

Опр. Функция f (t, x1 ,..., xn )

удовлетворяет условию Липшица по переменным x1 ,..., xn

на

множестве

n+1

, если

C > 0

(t, x1 ,..., xn ), (t, y1 ,..., yn ) K

K R

f (t, x1,..., xn ) − f (t, y1,..., yn ) < C(x1 − y1 )2 +... + (xn − yn )2 .

ЗАМЕЧАНИЕ Если функция f (t, x1 ,..., xn ) дифференцируема в каждой точке области

G Rn+1 , то она удовлетворяет условию Липшица на любом ограниченном замкнутом множестве (компакте) из G . Если f (t, x1 ,..., xn ) удовлетворяет условию Липшица, то она непрерывна по совокупности переменных x1 ,..., xn в каждой точке из G .

ТЕОРЕМА (существования и единственности решения задачи Коши) Пусть функции

f1 (t1 x1 ,..., xn ),..., fn (t, x1 , ... , xn ) непрерывны

на

открытом множестве

n+1

G R

удовлетворяют условию

Липшица

по

x1 ,..., xn на

любом

компакте

G . Тогда

, x0 ,..., x0 ) G

окрестности

точки t

существует

единственное

решение

x (t ),..., x

(t ) задачи Коши для НСОДУ с начальным условием x (t ) = x0 ,...,

x (t

) = x0 .

n 0

Если отказаться от условия Липшица, то решение задачи Коши существует,

но оно, вообще говоря, неединственное.

_____

Опр. Нормальной

системой

линейных

дифференциальных

уравнений

(НСЛДУ)

x′

= a

(t)x

+ ...+ a

(t)x

+ b (t)

называется система

вида

...........................

или в

матричной форме

x′

= a

(t)x

+ ...+ a

(t)x

+ b (t)

x (t)

x′(t)

X t′ =

A(t) X + B(t),

где

X (t) =

....

- искомое

решение

на

(α , β ) ;

X t′ =

..... ;

xn (t)

xt′(t)

(t)...a

(t)

b (t)

B(t): =

A(t) :=

......

- матрица непрерывных на (α , β )

коэффициентов;

.....

an1 (t)...ann (t)

bn (t)

матрица непрерывных на (α , β ) свободных членов.

Опр. НСЛДУ называется однородной,

если

t (α , β )

B(t) = 0 ,

и неоднородной в

противном случае.

Пр.

x11 (t)

x1n (t)

Опр. Последовательность n решений X1 (t) =

...

,..., X n (t) = ...

однородной

xn1 (t)

xnn (t)

НСЛДУ Xt′ = A(t) X называется фундаментальной системой, если t0 (α , β )

векторы

X1 (t0 ),..., X n (t0 ) линейно независимы.

(t),...x

(t)

(t),...x

(t)

Опр. Определитель и матрица W (t) :=

называются

.............

, W (t) := .............

xn1 (t)...xnn (t)

соответственно вронскианом и фундаментальной матрицей (матрицей Вронского)

НСЛДУ.

ТЕОРЕМА (Свойства решений НСЛДУ) 1) t0 (α, β)

= ...

существует един

xn0

ственное решение на (α , β ) задачи Коши с начальным условием x (t

) = x0 ,..., x

) = x0

Систем n решений

X 1 (t), ... , X n (t )

фундаментальна на (α , β )

тогда и только тогда,

когда t0 (α , β )

W (t0 ) ≠ 0 ;

3) Если система решений X 1 (t), ... , X n (t )

фундаментальна

на

(α , β ) ,

то

общее

решение

однородной

НСЛДУ

X t/ = A(t) X

имеет

вид

c1 X1 (t) + ... + cn X n (t ),

c1 ,..., cn R.

4) Если X 0 (t) - какое-либо (частное)

решение

неоднородной

НСЛДУ, то

общее

(любое) решение

этой НСЛДУ

имеет

вид

X (t) = X 0 (t) + c1 X1 (t) + .... + cn X n (t),

c1 ,...., cn R,

где

X 1 (t),..., X n (t) -

фундаментальная

система. 5) Eсли известна фундаментальная система X 1 (t),..., X n (t) , то частное решение

неоднородной

НСЛДУ

можно

вычислить по

формуле X 0 (t) = W (t)∫W −1 (τ )B(τ )dτ , а

решение задачи Коши с начальным условием

x (t

) = x 0 ,..., x

) = x 0

по формуле

1 0

Коши X (t) = W

(t)W

−1

(τ )B(τ )dτ , где X 0

(t0 ) X0 +W (t)∫W

... .

- фундаментальная матрица НСЛДУ,

то матрица

−1

(τ )

Опр. Если W (t)

Φ(t) := W

(t )W

называется переходной матрицей этой системы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Переходная матрица является решением задачи Коши для матричного уравнения Zt′(t) = A(t)Z (t) с функциональной матрицей Z (t) = ( zij (t )) размера

n × n и начальным условием Z (τ ) = E , где E есть единичная матрица.

2) Переходная матрица не зависит от выбора фундаментальной системы и полностью определяется матрицей коэффициентов A(t ) НСЛДУ.

_____

Опр. Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка (ЛДУ) называется

ОДУ вида	y ( n ) + a ( x) y ( n−1)		+ .... + a	n	( x) y = f ( x) ,	(1)
	0	1		n

где функции a1 ( x) ,..., an ( x), f ( x) непрерывны на (α , β ) . ЛДУ называется однородным, если x (α , β ) f ( x) = 0 и неоднородным в противном случае.

Опр. Последовательность решений		однородного ЛДУ n -го порядка	называется
линейно независимой на (α , β ) , если не существует такой ненулевой			n -ки чисел
α1 ,..., αn , что на (α , β )	α1 y1 ( x) + ... + αn yn ( x) ≡ 0 .
Опр. Определителем	Вронского и	фундаментальной матрицей однородного ЛДУ

	y ( x) ...	y		( x)		y ( x)	...	y		( x)
называются соответственно W ( x) :=	. 1 . .		n		, W ( x) :=	1	. .	.	n
	y1( n −1) ( x) ... yn( n −1) ( x)				y1( n−1) ( x) ... yn( n−1) ( x)

, где

y1 ( x),..., yn ( x) есть последовательности линейно независимых решений (фундаментальная последовательность решении ЛДУ).

ЗАМЕЧАНИЕ Несложно показать, что линейная независимость последовательности n решений ЛДУ (1) равносильна тому, что последовательность соответствующих

y′ = y

y1(x)

yn (x)

. . .

решений . . .

, ..., . . .

ассоциированной с (1) НСЛДУ

y′

= y

(n−1)

(x)

n−1

(x)

y′ = −a (x) y −... − a (x)y

+ f (x)

n−1

является фундаментальной. Поэтому прямым следствием теоремы 2 является

ТЕОРЕМА (свойства решений ЛДУ n -го порядка)

x0 (α , β )

{y1 ,..., yn

} R

задача Коши

начальным условием y( x ) = y0 ,..., y( n−1)

( x ) = y0

имеет

единственное

решение на (α , β ) .

2) Решения y1 ( x)1 ,....yn ( x)

однородного ЛДУ линейно независимы на

(α , β )

тогда и

только тогда, когда x0 (α , β ) W ( x0 ) ≠ 0 .

3)Если y1 ( x),..., yn ( x) - фундаментальная последовательность решений однородного ЛДУ, то любое (общее) его решение имеет вид c1 y1 ( x) + ... + cn yn ( x)

4)Если y0 ( x) -какое-либо решение ЛДУ (1) и y1 ( x),..., yn ( x) - фундаментальная последовательность решений, то любое (общее) решение ЛДУ можно записать в виде

y0 ( x) + c1 y1 ( x) + ... + cn yn ( x) .

5) Если известна фундаментальная последовательность y1 ( x),..., yn ( x) , то решение задачи Коши для уравнения (1) можно искать по формуле Коши для этого уравнения


n	n	W	(x )		n x	W	(τ)
y(x) = ∑ ∑y0j		j i	0	yi (x) + ∑∫		ni		f (τ)dτ yi (x) , где Wij ( ) есть алгебраическое
y(x) = ∑ ∑y0j				yi (x) + ∑∫				f (τ)dτ yi (x) , где Wij ( ) есть алгебраическое
i=1	j=1	W(x0 )			i=1 x	W(τ)

дополнение соответствующего элемента фундаментальной матрицы W ( ) .

_____

Опр. Характеристическим многочленом матрицы A M n,n мы называется многочлен n -ой степени p(λ) := det(λ E − A) . Нули этого многочлена λ1 ,..., λr порядков соответственно p1 , ..., pr назывались собственными числами матрицы A . Ненулевые решения, вообще говоря комплекснозначные, СЛАУ ( A − λi E) X = 0 называются собственными векторами матрицы A .

Опр. Матрицы A, C M n,n называются подобными, если существует невырожденная

матрица S (матрица перехода от A кC ) со свойством C = S −1 A S .

ЗАМЕЧАНИЕ При решении НСЛДУ с постоянными коэффициентами X t′ = AX + B(t ) представляет интерес задача нахождения наиболее простой матрицы C , подобной

матрице

A . Если она найдена, то

умножая уравнение

X t′ = SCS −1 X + B(t )

слева на

матрицу S −1 и делая замену переменных в полученном уравнении по формуле

Y := S −1 X ,

приходим к НСЛДУ

Yt ′ = CY + S −1 B(t )

более

простой

матрицей

коэффициентов. Одной из простейших матриц, подобных матрице

A ,

будет так

называемая жорданова нормальная форма этой матрицы.

x′

= a x +... + a

+ b (t)

11 1

.............................

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть дана НСЛДУ

x′

= a x +... + a

+ b (t) с постоянными коэффици

n1 1

ентами, и собственные числа λ1 ,..., λn

ее матрицы коэффициентов попарно различны и

вещественны. Обозначим X1 ,..., Xn , Xk

.. . ,соответствующие им собственные векторы

xnk

Тогда:

1) общее решение однородной НСЛДУ имеет вид с X eλ1t + ... + с X

eλnt ;

1 1

2) матрица W (t) := (xij eλ jt ) является фундаментальной, и решение задачи Коши

−1

(t0 ) X 0 ;

однородной НСЛДУ находится по формуле W (t)W

3) частное решение НСЛДУ ищется методом вариаций в виде

с (t)

есть решение системы

X 0 (t) := с1 (t) X1 (t) + ... + сn (t ) X n (t ) = W (t)С(t ) , где C(t) = . . .

сn (t)

eλ1t с′

+ ... + x

eλn t с′

= b (t )

дифференциальных уравнений . . .

eλ1t с′

+ ... + x

eλn t

с′

= b (t )

Интерполяционные многочлены и сплайны

Интерполяционные многочлены понадобятся для получения формулы Коши решения НСЛДУ с постоянными коэффициентами. Сплайны же естественно излагать вместе с интерполяционными многочленами.

Опр. Задачей простой интерполяции на последовательности попарно различных узлов λ1 ,..., λn C называется задача нахождения многочлена p( z) , принимающего в этих узлах наперед заданные значения a1 ,..., an : p(λi ) = ai , i = 1,..., n .

ЗАМЕЧАНИЕ Многочленом наименьшей степени, решающим задачу простой интерполяции, является интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

n	ai		ω( z)
p( z) = ∑				,	где ω( z) := ( z − λ1 ) ... ( z − λn ) .
						i	1	2	3

i =1 ω′(λi		) z − λi
						λi	2	3	4
Пр. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по таблице

						ai	4	-1	2
					_____

Опр. Сеткой с узлами {λ } на отрезке [a, b] называется разбиение T:={λ}: a:=λ <λ <...<λ =:b
k	k	0 1	n

Опр. Сплайном степени m на сетке T называется функция S ( x) = Sm (T , x) , имеющая

на [a, b] непрерывные производные до (m −1) -го порядка включительно, которая совпадает на каждом отрезке [λi −1 , λi ] с каким-либо многочленом степени ≤ m и хотя бы на одном отрезке – с многочленом степени m .

Пр. S1 (T , x) - линейный сплайн. Его график есть ломаная. S3 (T , x) - кубический сплайн. Он является дважды непрерывно дифференцируемой на [a, b] функцией, а его график составлен из кубических парабол.

Опр. Кубический сплайн называется естественным, если два дополнительных условия

имеют вид	S′′(λ0 ) = S ′′(λn ) = 0 , и периодическим, если они имеют вид
S′(λ0 ) = S′(λn ),	S′′(λ0 ) = S ′′(λn ) и a0 = an .

АЛГОРИТМ (построения кубического сплайна) Пусть заданы узлы, соответствующие

значения в узлах a0 , a1 ,..., an

и два дополни тельных значения a′, a′′ первой или второй

производной на каком-либо из концов.

1) Обозначим b := S ′′(λ ) , h := λ −λ

, i =1,..., n . S′′(x) =

bi −1 (λi

− x) + bi ( x − λi−1 )

на [λ

λ ]

i−1

i −1,

(λ − x)3 + b ( x − λ

i −1

a b h

i −1

(λi

( x − λi −1 ),

Рабочая формула S ( x) =

−

− x) +

−

x [λi −1 , λi

], i

= 1,..., n.

a − a

h1b0

+ 2(h1

+ h2 )b1 + h2b2

= 6

−

2) Основная СЛАУ

. . .

c n −1 уравнения

− an−1

an−1 − an−2

+ hn )bn−1

+ hnbn = 6

hn−1bn−2 + 2(hn−1

− 6

n−1

ми и n + 1 неизвестными b0 ,..., bn . Добавляем к ним два уравнения со значениями a′, a′′ . 3) Решаем полученную СЛАУ, и решение подставляем в рабочую формулу S ( x) .

_____

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть матрица A M n,n имеет попарно различные собственные числа

λ1 ,..., λn . Найдем соответствующие им собственные векторы и составим из последних

как из столбцов матрицу S					A	:= (x	). Тогда имеет место равенство J ( A) = S −1 A S			A	, где
					A	i j			A	A
λ1	0	. . .	0
0	λ	. . .	0
J ( A) :=	2			- жорданова нормальная форма матрицы A , S					- матрица
J ( A) :=				- жорданова нормальная форма матрицы A , S				A	- матрица
.	.	. . .	0					A
.	.	. . .	0

0	0	0	λn

перехода от A к J ( A) .

Многочлен от матрицы p( A) := a An + a An−1

+ ... + a E , где A - квадратная, а E -

единичная матрицы.

ω( x)

Пр. p( A) = ∑

x= A , где ω( x) := ( x − λ1 )...(x − λn ) .

ω′(λ ) x − λ

k =1

λk t

ω( x)

Полагаем etA

=: p( A) = ∑

x= A , так как p(λk ) = eλk t , k = 1,..., n . Несложно

′

k =1

ω (λk ) x − λk

показать, что (etA )'

= A etA и e0 A = E .

ТЕОРЕМА (решение задачи Коши для НСЛДУ с постоянными коэффициентами)

Пусть в НСЛДУ X ' = AX + B(t) квадратная числовая матрица A = (aij )

имеет размер n ,

а элементы матрицы B(t) = (b (t ), ..., b (t))T

непрерывны на [α , β ] . Тогда:

матрица

exp{(t −τ) A}

является

переходной

матрицей

НСЛДУ,

то

есть

фундаментальной со свойством e(t−τ) A

t=τ

= E ;

общее решение однородной НСЛДУ

X (t) = e

C = ...

;

3) решение задачи Коши X (t0 ) = X 0

для однородной НСЛДУ имеет вид e

(t −t0 ) A

X 0 ;

решение задачи Коши X (t0 ) = X 0

для неоднородной НСЛДУ имеет вид

X (t) = e

(t −t0 ) A

X 0 + ∫e

(t −τ ) A

B(τ )dτ .

Численное решение задачи Коши для ОДУ

Опр. Сеткой с шагом h и узлами xk

называется разбиение отрезка [x0 , x0 +l ]

точками

:= x

+h, h :=

, n = 0,..., N −1 . Сеточной функцией называется функция,

n+1

определенная в узлах x0 ,..., xN .

Пусть правая часть ОДУ yx′ = f ( x, y) имеет непрерывные частные производные в

точке ( x0 , y0 ) . Тогда по формуле Тейлора в окрестности точки ( x0 , y0 )

для решения y(t)

задача Коши:

y′=f (x, y), y(x ) =y , имеем

y(x ) = y(x ) +y′(x )h +O(h2 ) = y(x ) + f (x , y )h +O(h2 )

Последнее равенство подводит к такому определению.

Опр. Методом Эйлера приближенного решения задачи Коши y ′

= f ( x, y), y( x ) = y

на сетке x0 , ..., xn

называется нахождение сеточной функции {yk } по формулам

y0 := y0 ,

yn+1 := yn + f ( xn , yn )h,

n = 0, .., N −1.

ЗАМЕЧАНИЕ

Локальная погрешность метода Эйлера – это погрешность на одном

шаге, и она равна, как следует из формулы Тейлора, O(h2 ) . Глобальная погрешность –

это величина max y( x ) − y . Для метода Эйлера она равна O(h) .

n≤N n n

Опр. Методом Рунге-Кутта приближенного решения задачи Коши y′=f (x, y), y(x ) =y на

0 0

сетке x0 , ..., xn

называется нахождение сеточной функции {yk } по формулам

k := f ( x , y

) h

n n

:= f ( x +

, y

+k ) h

y0 := y0 , yn+1

:= yn +

(k1 +2k2 +2k3 +k4 ), где

n = 0,..., N −1 .

:= f ( x +

, y

) h

:= f ( x +h, y

) h

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Локальная погрешность метода Рунге-Кутта на одном шаге равна O(h5 ) . Глобальная погрешность равна O(h4 ) .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Методы Эйлера и Рунге-Кутта имеют место и для НСОДУ.

x ′= f (t, x, y)	x(t		) = x
Пр. Для задачи Коши t	,	0	0 формула метода Рунге-Кутта имеет
y ′= f (t, x, y)	y(t		) = y
t		0	0

(k1 +2k2 +2k3 +k4 )

x := x

xn+1 := xn +

, где

вид

y0 := y0

(l1 +2l2 +2l3 +l4 )

yn+1 := yn +

k := f (t , x , y ) h

l := f (t , x , y ) h

1 n

2 n

k := f (t +

, x +k , y +l ) h

l := f (t

, x +k , y +l ) h

1 n

2 n

k := f (t +

, x +k , y +l ) h

l := f (t

, x +k , y +l ) h

1 n

2 n

:= f (t

+h, x +k , y +l ) h

k := f (t +h, x +k , y +l ) h

1 n

2 n

Динамические системы и траектории

′

= f

( x ,..., x )

Опр.

НСОДУ

вида

...

или

в матричной

форме

X ' = F ( x) , где

= f

( x , ..., x )

x ′

отображение

F = ( f ,..., f

)

определено на открытом множестве

G Rn ,

называется

динамической (автономной) системой (ДС).

ЗАМЕЧАНИЕ Предполагаем, что функции

fk ( x1 ,..., xn ),

k =1,..., n ,

удовлетворяют

условию Липшица на любом замкнутом ограничен ном множестве K G . Тогда по

теореме

существования

задача

Коши с

начальными

данными

t0 R, x0

G имеет

единственное решение.

Опр.

Множества точек {x(t) = ( x1 (t ),..., xn (t)) : t (α, β)} в

называются траекториями,

множество траекторий

называется фазовым портретом

динамической

системы, а

пространство

- фазовым пространством.

ЗАМЕЧАНИЕ В силу теоремы единственности траектории между собой не

пересекаются. Траектории, определяемые решениями		x(t), x(t +α), α R, совпадают.
Пр.
n	динамической системы порождает траекторию,
Опр. Постоянное решение x(t) ≡ a R
называемую положением равновесия.
ЗАМЕЧАНИЕ Из определения следует, что точка		n		является	положением
		a R
равновесия динамической системы тогда и только тогда,			когда число		a является

f (x) = 01

решением системы . . . .

f ( x) = 0

Опр. Определенное на {−∞, +∞) решение динамической системы x(t ) называется

n	- замкнутой (циклом), если
периодическим, а соответствующая траектория в R	- замкнутой (циклом), если
T > 0 t R x(t +T ) = x(t) .

ЗАМЕЧАНИЕ Если траектория динамической системы сама себя пересекает хотя бы в одной точке, то она необходимо является либо положением равновесия, либо циклом (в силу теоремы единственности).

Пр.

Определение Цикл ДС называется предельным, если во множестве траекторий, проходящих через точки, достаточно близкие к этому циклу, нет замкнутых траекторий. Цикл называется устойчивым (притягивающим), если он является асимптотой для всех траекторий, проходящих через достаточно близкие к этому

циклу точки, при t → +∞ . Цикл называется неустойчивым (отталкивающим), если он является асимптотой для всех близких траекторий при t → −∞ .

ЗАМЕЧАНИЕ Существуют альбомы фазовых портретов динамических систем.

a11 x1

a12 y

Исследуем фазовый портрет однородной НСЛДУ

21 x

a22 y

Пусть λ1,λ 2

- собственные числа матрицы A

= 11

a21

a22

λ1 ,λ2 R,

λ1 ≠λ2

1.1) λ1 ,λ2 <0 . Соответствующее поведение траекторий вблизи положения равновесия (0, 0) называется устойчивым узлом.

1.2) λ1 ,λ2 >0 . Соответствующее поведение траекторий вблизи положения равновесия (0, 0) называется неустойчивым узлом λ1 <0 <λ2 . Соответствующее поведение траекторий вблизи положения равновесия (0, 0) называется седлом (0, 0) .

2) λ1 =λ2 =: λ . Если матрица A имеет два линейно независимых собственных вектора. В зависимости от знака λ соответствующее поведение траекторий вблизи (0, 0) называется устойчивым или неустойчивым дикритическим узлом.

3) λ1 =λ2 =: α+βi C.

3.1) Re α <0 . Поведение траекторий вблизи положения равновесия (0, 0) называется устойчивым фокусом.

3.2) Re α> 0 . Поведение траекторий вблизи положения равновесия (0, 0) называется неустойчивым фокусом.

3.3) Re α = 0 . Поведение траекторий вблизи положения равновесия (0, 0) называется

центром. Траектории являются циклами с периодом = 2π .

| β |

Понятия устойчивости и линеаризации

			x1		(t )

Напомним, что						( ) :=(	1	( ),...,	n	( )).
Напомним, что	X	( ) := .			. . ,	( ) :=(	1	( ),...,	n	( )).
	X	t				x t	x	t	x	t

					(t)
			x		(t)
				n

Опр. Пусть для НСОДУ X ′ = F (t, x(t)) выполнено условие теоремы единственности на

		n			n
множестве точек (t, x) таких, что t >α,	x G R		.
				Решение ϕ(t ) : [t0 , ∞) → R
называется устойчивым по Ляпунову, если ε> 0 δ > 0					x0 G с условием

ρ(ϕ(t0 ), x0 ) <δ решение ψ(t ) задачи Коши с начальным условием ψ(t0 ) = x0

удовлетворяет условию: t ≥t0 ρ(ψ(t), ϕ(t)) <ε. Если кроме того lim ρ(ψ(t ), ϕ(t )) = 0 , то

t→+∞

решение ϕ(t) называется асимптотически устойчивым.

ЗАМЕЧАНИЕ Устойчивость решения ϕ(t) для НСОДУ X ′ = F (t, x) равносильна устой

чивости нулевого решения для НСОДУ Y ′= F (t, y1 (t) +ϕ1 (t ), ..., yn (t) +ϕn (t ))− F (t, ϕ(t)) .
	t
СЛЕДСТВИЕ	Произвольное решение НСЛДУ X ′ = A(t ) X + B(t) устойчиво тогда и
	t
только тогда,	когда устойчиво нулевое решение однородного уравнения X ′ = A(t) X .
	t

Поэтому для таких систем корректно говорить об (асимптотической) устойчивости НСЛДУ, а проверять ее только на нулевом решении однородной НСЛДУ.

Опр. ЛДУ с постоянными коэффициентами x(n) +a x(n−1) +.. +a x = f называется
						1	n
устойчивым, если t				, x0	, ..., x0	R решение x(t ) соответствующей задачи Коши
			0	1	n
x(t	) = x0 , ..., x(n−1)	(t	) = x0		однородного ЛДУ ограничено на [t		, +∞) и lim x(t) = 0
0	1	0		n		0	t→+∞
							t→+∞

ТЕОРЕМА (свойства устойчивости ДУ) 1) Пусть элементы функциональных матриц

A(t ), B (t )	НСЛДУ X ′ = A(t) X +B(t) непрерывны на [t		, ∞) .Система будет устойчивой тог
	t	0
	t

да и только тогда, когда элементы ее фундаментальной матрицы ограничены на [t0 , ∞) .

2) НСЛДУ с постоянными коэффициентами X ′ = A X +B(t) устойчива тогда и только

тогда, когда собственные числа матрицы A имеют неположительные вещественные части, а для чисто мнимых собственных чисел λ = βi выполняется равенство

rang ( A −βiE) = rang ( A −βiE)2 , то есть у матрицы λE −A нет присоединенных векторов.

3)В условиях предыдущего пункта НСЛДУ асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части.

4)(критерий Рауса-Гурвица) ЛДУ с постоянными коэффициентами x(n) +a1x(n−1) +...

+an x =

a1 = 1 R 0

f устойчиво тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы

a3		a5		...	0


a	2	a	4	...	0
	2		4									a	a
												a	a
a		a		...	0	положительны:	δ := a >0,		δ		:=	1	3	>0, , δ := det R >0 .
a		a		...	0	положительны:	δ := a >0,		δ		:=	1	a	>0, , δ := det R >0 .
1			3				1	1		2		1	a	n
1			3				1	1		2				n
													2
. .				...
. .				...	.


0		0		...
0		0		...	an

_____

		f1

Опр. Пусть x (t) - решение НСОДУ					,	которое назовем опорным
Опр. Пусть x (t) - решение НСОДУ	X ′ = F (t, x) =		...		,	которое назовем опорным
0	t


		f
		f		n
				n

(рабочим). Для "близкого" решения x(t ) положим

X := X (t ) − X 0 (t) .

Разложим

функции fi (t, x(t))

в окрестности x0 (t)

по формуле Тейлора

∂fi

fi (t, x(t )) = fi (t, x0 (t)) +∑

(t, x0 (t)) x j (t ) + Ri (t,

x1 , ..., xn ),

i =1,...n ,

∂x

j=1

∂fi

или в матричной форме

F (t, x(t)) = F (t, x

(t)) +

(t, x

(t)

+ R(t,

x ,..., x

) .

∂x

∂fi

Тогда ( X )′

= X ′− X ′

= F (t, x(t)) −F (t, x

(t )) =

(t, x

(t )

+ R(t,

x (t),...,

x (t))

∂x

∂fi

( X )′

Отбрасывая "малое" последнее слагаемое, получим НСЛДУ

(t, x (t )

X ,

∂x

которая называется линеаризацией НСОДУ в окрестности опорного решения X 0 (t) .

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть a = (a1 ,..., an )	- положение равновесия динамической системы
	x −a
		1	1

X ′ = F ( X ) , то есть F (a) = 0 . Тогда			...	( X )t′ = X t′, и потому линеаризацией
X ′ = F ( X ) , то есть F (a) = 0 . Тогда	X =		...	( X )t′ = X t′, и потому линеаризацией
t
			−a
	x		−a
		n	n

динамической системы в окрестности положения равновесия a будет НСЛДУ

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.202574 Кб3Матвеенко А.Н. БЭ-311.docx
#
10.11.20194 Мб24математика - Опорный конспект лекций 1,2 семес...doc
#
19.05.20152 Мб45Математика .docx
#
01.07.202566 Кб0математика глава 3. ответы.docx
#
01.07.2025585 Кб5математика готовое.docx
#
19.05.2015576 Кб31Математика конс.2 семестр.pdf
#
19.05.2015613 Кб28математика конспект.pdf
#
27.09.201991 Кб9Математика ответы.docx
#
23.09.201946 Кб6Математика экзамен.docx
#
19.08.2019575 Кб37математикаТВ 3 _Менеджмент+ГК.doc
#
19.05.20157 Мб46Математический анализ.doc