Математика конс.2 семестр

n

sk := s(Lk ) выберем точки M k , и образуем интегральную сумму S(T, E) = ∑(F(Mk ), N(Mk ))sk

k =1

Предельное значение s = ∫∫(F (M ), N (M ) )ds := ∫∫ f (M )dydz + g (M )dzdx + r(M )dxdy

LL

интегральных сумм, если оно существует при d (T ) → 0 , называется поверхностным интегралом второго рода (ПИВР) по поверхности L или потоком векторного поля F (M ) через поверхность L.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 cos α (M ) ds , например, есть площадь проекции элемента поверхности с площадью ds на координатную плоскость YOZ , и потому естественно обозначение

cos α (M ) ds = dydz .

ПРИЛОЖЕНИЕ Пусть жидкость стационарно движется в пространственной области G , то есть вектор скорости v (M ) частицы жидкости не зависит от времени t и вполне определяется координатами M ( x, y, z) этой частицы. Тем самым, движение жидкости в G определяется полем скоростей v (M ) : G → R3 . Важной характеристикой последнего является поток жидкости через поверхность ∫∫(v (M ), N (M ))ds , который совпадает с

L

объемом жидкости, протекшей через поверхность L G за единицу времени.

Элементы теории поля

Опр. Векторное поле F : G → R3 называется непрерывным (дифференцируемым), если его координатные функции непрерывны (дифференцируемы).

Опр. Дивергенцией (расходимостью) дифференцируемого векторного поля F : G → R3 называется скалярное поле div F : G → R, определяемое формулой

div F (M ) := ∂f (M ) + ∂g (M ) + ∂r (M ) .

∂x ∂y ∂z

ЗАМЕЧАНИЕ (формула Гаусса-Остроградского, 1827) Пусть G есть область в R3 с гладкой границей L. Пусть поле F = { f , g, r} непрерывно дифференцируемо на замыкании области G . Тогда имеет место формула ∫∫(F (M ), N (M ) )ds = ∫∫∫div F (M ) dv .

L G

СЛЕДСТВИЕ (физический смысл дивергенции и формулы) Поток векторного поля через замкнутую поверхность совпадет с суммарной мощностью всех источников и стоков, которые находятся внутри поверхности.

___

циркуляция его вдоль кривой AB совпадает с работой поля по перемещению материальной точки единичной массы из A в B вдоль этой кривой.

поверхность L с кусочно гладкой границей l . Пусть поле F = { f , g, r} непрерывно

дифференцируемо на G . Тогда имеет место формула

∫ f (M )dx + g (M )dy + r(M )dz = ∫∫(rot F (M ), N (M ) )ds = ∫∫(rot (F R), ru′, rv′)dudv ,

ЗАМЕЧАНИЕ 3 (физический смысл формулы и ротора) Работа (циркуляция)

силового поля вдоль любого замкнутого пути вполне определяется не самим полем, а

= F (M ) . В этом случае U (M ) называется потенциалом поля F (M ) .

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть F (M ) есть дважды непрерывно дифференцируемое векторное поле на односвязной области G (то есть любую замкнутую кривую в G можно непре рывным образом стянуть в этой области в точку). Тогда равносильны следующие утверждения. 1) F (M ) является потенциальным полем на G . 2) M G rot F (M ) = 0 .

F (M )dr не зависит от пути интегрирования, а только от его концов. (физический смысл) Силовое поле F : G → R3 является потенциальным

его работа по перемещению материальной точки вдоль любого замкнутого контура l G равна нулю. В физике экспериментально устанавливается, что таким свойством обладает, например, электрическое поле, созданное неподвижными зарядами

(электростатическое поле).

Опр. Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно и потенциальное и соленоидальное.

ЗАМЕЧАНИЕ Дважды непрерывно дифференцируемое потенциальное поле на односвязной области G является гармоническим тогда и только тогда, когда его

потенциал является решением уравнения Лапласа ∂2U + ∂2U + ∂2U = 0 .

∂x2 ∂y2 ∂z 2

СЛЕДСТВИЕ Векторные поляF1 (M ), F2 (M ) имеют одинаковые вихри и одинаковые расходимости: rot F1 (M ) = rot F2 (M ) , div F1 (M ) = div F2 (M ) , тогда и только тогда, когда их разность F2 (M ) − F1 (M ) есть гармоническое поле.

ТЕОРЕМА 6.5 (Гельмгольца) Всякое непрерывно дифференцируемое в односвязной области поле F : G → R3 представимо в виде суммы соленоидального Fs и потенциального Fp полей: F (M ) = Fs (M ) + Fp (M ) .

СЛЕДСТВИЕ Из определений следует, что линейная комбинация соленоидальных (потенциальных) полей есть поле соленоидальное (потенциальное). Это позволяет получить общей вид разложения в теореме.

графически, в тригонометрический ряд ( в ряд по sin, cos ). 13. Вычислить момент инерции пластинки. 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f ( x), y = g ( x) .

15. Найти работу силового поля F ( x, y) вдоль кривой l . 16. Найти объем тела.

ЛИТЕРАТУРА

1.Я.С.Бугров, С.М.Никольский Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2.

2.Я.С.Бугров, С.М.Никольский Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Т.3.

3.Берман Г.Н. Сб. задач по курсу матем. анализа.

4.П.Е.Данко Высшая математика в упражнениях и задачах.

ВОПРОСЫ К ПЕРВОМУ БЛОКУ. Весенний семестр, 2012-2013 уч. год.

1. Опр. шара, луча и открытого множества в R~ n . Пр. 2. Опр. граничной точки, границы и замкнутого множества замкнутого в R~ n . Пр. 3. Опр. отображения, функции n переменных и координатных функций. Пр. 4. Опр. С-линии и С-поверхности уровня. Пр. 5. Опр. предела и предела по направлению. КПР 6. Опр. полного, частичного приращений и непрерывного отображения. Пр. 7. Опр. дифференцируемого отображения, производной и дифференциала отображения в точке. 8. Опр. производной по направлению, частной производной и градиента функции. Связь понятий. 9. Опр. матриц Якоби отображения. Пр. F ( x, y) = ( xy, x2 + y2 ) . Опр. матрицы Гессе функции. Пр. f ( x, y) = x2 + xy + y2 . 10. Опр. касательной плоскости и геом. смысл дифференцируемости функции. Пр. 11. Опр. смешанной производной, производной второго порядка и замечания. 12. Матрица Якоби сложного отображения и формула полной производной. Пр. 13. Опр. многочлена Тейлора и аппроксимации функции. Остаточный член формулы Тейлора. 14. Опр. положительно определенной, полуопределенной и неопределенной квадратичных форм. Пр. 15. Опр. главных миноров матрицы, точек локального минимума и седловой. Пр. 16. Формулировка необходимых и достаточных условий локального экстремума. 17. Опр. ДУ, ОДУ. Пр. 18. Опр. ОДУ n -го порядка, разрешенного (не разрешенного) относительно производной. Пр. 19. Опр. решения ОДУ и интегральной кривой. Пр. 20. Опр. задачи Коши, условий и данных Коши. Пр. 21. Опр. общего, частного и особого решений. Пр. 22. Что значит проинтегрировать в явном виде и в квадратурах? Пр. 23. Опр. НСОДУ, его порядка и задачи Коши. 24. Опр. НСЛДУ, однородной и неоднородной НСЛДУ. Пр. 25. Опр. фундаментальной системы решений, фундаментальной матрицы и вронскиана. 26. Свойства НСЛДУ и переходная матрица. 27. Опр. ЛДУ n -го порядка и его свойства. 28. Опр. подобных матриц, матрицы перехода и характеристического многочлена матрицы.

ВОПРОСЫ КО ВТОРОМУ БЛОКУ

1. Опр. задачи простой интерполяции и формула Лагранжа. Пр. 2. Опр. сплайна, кубического, естественного и периодического сплайнов. 3. Опр. сетки и сеточной функции и метода Эйлера решения ОДУ. 4. Опр. ДС траекторий, фазовых портрета и пространства. Пр. 5. Опр. положения равновесия периодической траектории и цикла. Зам. 6. Опр. устойчивого и неустойчивого узлов. Рис. 7. Опр. устойчивого и неустойчивого фокусов. Рис. 8. Опр. седла и центра. Рис. 9. Опр. устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Зам. 10. Опр. линеаризации НСОДУ. 11. Опр. меры Лебега и измеримой функции. Пр.

12. Опр. и св-ва интеграла Лебега и пространства Lp (α , β ) . Св. 13. Опр. комплексного евкли

дова пространства и гильбертова пространства. Пр. 14. Опр. ортонормированной системы, коэффициентов и ряда Фурье. Пр. 15. Опр. тригонометрического ряда, ряда Фурье в комплек сной форме и к-ой гармоники. 16. Опр. спектра периодической функции, амплитуд, фаз, гар монических и круговых частот. 17. Опр. меры Жордана (площади) множества. Пр. 18. Опр. диаметра множества, интегральной суммы и двойного интеграла функции. Пр. 19. Геометри ческий смысл двойного интеграла. Приложения. 20. Опр. интеграла с переменным верхним пределом, повторного и несобственного интегралов. 21. Опр. КИВР. Приложение. 22. Опр. области и формула Грина. Приложение. 23. Опр. тройного интеграла. Приложения. 24. Опр. двусторонней поверхности и ориентации. Кпр. 25. Опр. векторного и скалярного и дифферен цируемого полей. Пр. 26. Опр. ПИВР. Приложение. 27. Опр. дивергенции поля и соленоидального поля. Связь. 28. Опр. ротора поля и потенциального поля. Связь. 29. Физический смысл соленоидального и потенциального полей. 30. Опр. гармонического поля и теорема Гельмгольца.