Задачи 61-70
В этих задачах используется определенный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
где F(x) - первообразная для f(x), то есть F'(x) = f(x);
a и b - пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.
Обратите внимание на то, что определенный интеграл - это число в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а затем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Например
Задача.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой
и прямой
.
Сделать чертеж.
Решение. Построим параболу и прямую.
Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.
Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.
;
;
,
Тогда
.
Итак,
вершина параболы в точке
.
Точки
пересечения параболы с осью Ох:
,
тогда
,
откуда
;
,
то есть точки
и
.
Точка
пересечения с осью Оу:
,
тогда
;
то есть точка
.
Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх (рис. 9).
Прямую
у = х-1 строим по двум точкам:
получены точки (0;-1) и (1 ;0). Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой.
Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:
Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой
,
где функции f1(x) и f2(x) ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть f2(х) ≥f1 (х) при х Є [а;b].
В нашей задаче f1(x) = x2 -6x + 5;f2(x) = x-l; x Є [l;6].
Поэтому
Ответ: Площадь искомой криволинейной трапеции:
Задачи № 71-90
Названные задачи относятся к теме «Дифференциальные уравнения». По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:
1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?
Определение.
Уравнение, связывающее независимую
переменную
,
искомую функцию
и ее производные, называется
дифференциальным.
или
Порядок дифференциального уравнения определяется наличием наивысшей производной:
-
дифференциальное уравнение первого
порядка
-
дифференциальное уравнение второго
порядка
2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
Определение.
Решением дифференциального уравнения
называется такая функция
,
которая вместе с ее производными
удовлетворяет этому уравнению (превращает
его в тождество).
Общее
решение имеет вид:
.
Решение,
полученное из общего при конкретных
значениях произвольных постоянных
называется частным.
Общее решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка имеют соответственно вид:
3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
Дифференциальное
уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными:
.
Нахождение их общего и частного решений.
4.
Дифференциальные уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными
сводится к уравнению с разделенными
переменными
,
которое решается интегрированием обеих
частей:
5.
Линейное дифференциальное уравнение
первого порядка:
Отыскание его общего и частного решений.
Линейные
дифференциальные уравнения первого
порядка
при
является уравнением с разделяющимися
переменными. Если
,
то уравнение решается с помощью
подстановки
,где
и
неизвестные
функции, зависимые от
.
После ряда преобразований линейное
уравнение сводится к двум дифференциальным
уравнениям с разделяющимися переменными.
6. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.
Задача.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
и частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
.
Уравнения
предлагаемого вида являются линейными,
так как содержат искомую функцию «
»
и ее производную «
»
в первых степенях. Один из способов
решения таких уравнений заключается в
том, что функцию y(x) ищем в виде произведения
двух дифференцируемых функций u(x) и
v(x), одна из которых подбирается специальным
образом, а другая находится из условия
их удовлетворения исходному уравнению.
С помощью этого приема решение линейного
дифференциального уравнения первого
порядка сводится к решению двух
дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными соответственно для функций
u(x) и v(x).
Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:
Пример 1.
;
при
.
Ищем
решение уравнения в виде
.
Найдем производную этого произведения:
.
Подставим функцию y и ее производную
в исходное уравнение:
В
левой части уравнения сгруппируем
слагаемые, имеющие общий множитель «
»,
и вынесем его за скобку:
Подберем
вспомогательную функцию «
»
так, чтобы обратилось в нуль выражение,
стоящее в круглых скобках:
(1)
Тогда уравнение примет вид:
(2)
Оба последних уравнения решаются разделением переменных.
Сначала
находим частное решение первого из них,
то есть функцию
,
а затем, подставив ее во второе уравнение,
найдем функцию
.
1)
;
2)
;
;
;
;
Замечание.
Решая первое уравнение (для вспомогательной
функции
),
берем лишь его частное решение,
соответствующее
.
При решении второго уравнения для
функции
находим общее решение уравнения.
Так
как
,
то
- общее решение уравнения.
Для
нахождения частного решения обратимся
к начальному условию:
при
.
Подставим эти значения в найденное
общее решение дифференциального
уравнения:
,
так
как
,
то
Подставим найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:
.
Ответ:
-
общее решение дифференциального
уравнения;
-
частное решение дифференциального
уравнения.
Пример
2.
;
Ищем
решение в виде
Найдем
производную:
.
Подставим
в исходное уравнение
и
:
;
Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:
Подберем
вспомогательную функцию
из
условия:
(1)
Тогда уравнение примет вид:
(2)
Решаем
поочередно два последних уравнения,
причем для первого из них берем лишь
частное решение
,
соответствующее
.
Таким
образом,
- общее решение данного дифференциального
уравнения.
Для
нахождения частного решения воспользуемся
начальными условиями:
,
подставив их в найденное общее решение:
Подставим
,
в общее решение уравнения:
Пример
3.
Ищем
решение в виде
,
тогда
.
Подставим
и
в данное уравнение:
Потребуем,
чтобы
(1) , тогда
(2)
Решим
последовательно оба уравнения, причем
для первого из них берем лишь частное
решение при
.
Так
как
,
то
-
это общее решение исходного
дифференциального уравнения.
Для
нахождения частного решения обратимся
к начальным условиям
;
и
подставим их в найденное общее решение:
Искомое
частное решение получим из общего,
подставив в него найденное
значение
:
Ответ:
- общее решение;
- частное решение.
Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получится верное равенство (тождество).
Пример 4. Найти частное решение уравнения:
,
удовлетворяющее
начальным условиям
.
Решение.
Общее решение
данного уравнения равно сумме общего
решения
однородного уравнения и какого-либо
частного решения
данного уравнения, то есть
Для
нахождения
составим характеристическое уравнение
,
имеющее комплексные корни
.
В этом случае общее решение однородного
уравнения ищем в виде
(4)
где
-
комплексные корни характеристического
уравнения. Подставим в (4)
,
имеем:
Для
нахождения частного решения
неоднородного дифференциального
уравнения воспользуемся следующей
теоремой: если правая часть неоднородного
уравнения есть функция
и числа
не
являются корнями характеристического
уравнения, то существует частное решение
.
Если же числа
являются корнями характеристического
уравнения, то существует частное решение
.
Применяя
эту теорему при
,
имеем:
.
Дважды
дифференцируя последнее равенство,
находим
:
Подставив
в данное уравнение
,
получим:
,
Откуда
,
.
Следовательно,
и
Найдем
:
Используя начальные условия, получим систему
Следовательно,
есть искомое частное решение данного
дифференциального уравнения.