15.Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вер. некоторого соб. А, которое может произойти вместе с одним из соб. H₁,H₂,…,H_n, образующих полную группу несовместных соб. Соб. H₁,H₂,…,H_n будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) вычисляется как P(A) =++…+=. Т.е.P(A) вычисляется как сумма произведений вер-ти каждой гипотезы на соотв. условную вер. соб. А. Док-во: Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n образуют полную группу, то соб. А может появиться в комбинации с какой-л. из этих гипотез, т.е. A=H₁A+H₂A+…+H_nA. Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n несовместны, то и комбинации H₁A,H₂A,…,H_nA несовместны. Применяя теорему сложения, получаем P(A)= P(H₁A)+P(H₂A)+…+P(H_nA). Применяя к событию H_iA теорему умножения вер-тей, получаем P(A)=++…+.

16.Формула Байеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вер. явл. теорема гипотез или формула Байеса. Поставим след. задачу: имеется полная группа несовместных гипотез H₁,H₂,…,H_n. Вер-ти этих гипотез до опыта известны и равны P(H₁), P(H₂),…, P(H_n). Произведен опыт, в рез-те кот. появилось некоторое соб. А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. нужно найти усл. вер. P_A(H_i) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вер.: P(AH_i)=P(A)* P_A(H_i)=P(H_i)*,;P_A(H_i)=,. ВыражаяP(A) с пом. формулы полной в-сти, получаем P_A(H_i)=,. Данная формула – формула Байеса или теоремой гипотез.

18.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний

Опр.: Наивероятнейшим числом m₀ наступления соб. А в n независим. испытаниях назыв. число, для кот. вер. превышает или по крайней мере не менее вер. каждого из остальных возм. исходов исп. Пусть соб. А наступилоm₀ раз в n испы. Вер. появл. соб. А обозначим p; P(A)=p, а , тогда по формуле Бернули. По определению:-формула (1);-формула (2). Из нер-ва (1) получаем:;;. Т.к.q+p=1, то . Из нер-ва (2) получаем:;;;. Т,о. для нахождения наивероятнейшего числа мы получили нер-во:.Замечание 1: Длина интервала, определяемая нер-вом равна 1; Замечание 2: Если границы интервала – дробные числа, то значение наивероятнейшего числа одно. Если границы – целые числа, то знач. наивер. числа два.

19.Формула Пуассона

Если вер. события p в отд. испытании близка к 0, то даже при большом числе испытаний n, но небольшой величине вероятности, получен. по лок. формуле Лапласа недостаточно близки к их ист. знач.м. В таких случаях применяют формулу Пуассона.Теорема: Если вер. p наступления соб. А в кажд. исп постоянна, но близка к 0, число независим. Исп. n достаточн. велико, а , то вер.того, что вn независ. испытаниях соб. А наступит m раз . Это формула Пуассона.Док-во: Для вычисления вер. воспользуемся ф. Бернулли:

(Т.к.,то)=Т.к. по условиюn велико, то найдем предел правой части последн. равенства при , при этом будет получено приближен. значение вер.:====Пределы всех скобок, кроме предпоследн. равны 1 при. Сл-но вер. того, что вn исп. соб. появится m раз .Замечание: Ф. Пуассона обычно используют, когда , а.

21.Понятие случайной вел-ны. Дискретные и непрерывные случ. вел-ны.Случайной называется вел-на, кот. в рез-те опыта может принять то или иное возможное значение неизвестное заранее, но обяз-но одно. Пример: число попадений при 5 выстрелах, цена акций на бирже в опр. момент времени. Дискретной случайной вел-ной (с.в.) называют такую с.в., мн-во возм. знач. кот. либо конечное, либо бесконечное, но счетное. Пример: число солнечных дней в году. Непрерывной с.в. называют такую с. в., кот. может принять любое значение из некот. конечного или бесконечного интервала. Пример: расходы горючего на единицу расстояния. с.в. обозначаются большими лат. буквами из конца алфавита(X, Y, Z). х₁ ,х₂- соотв. знач. с. в. Введем операции над с.в. Пусть имеется 2 с.в. X и Y, возм. знач. кот. явл.

х₁,х_{2 …..} х_n и y₁,y_{2 …..} y_n. Опр.: Суммой X+Y с.в. X и Y называют с.в. Z , возм. знач. кот. равны .Опр.: Произведением XY с.в. X и Y называется с.в. Z, возм. знач. кот. равны .Опр.: Произведением CX с.в. X на постоян. C называется такая с.в. Z, возм. знач. кот. равны . Аналогично определяютсяX-Y и X\Y двух с.в.