Мет выч методичка

выходящей из точки (xk; yk).

Неявный метод Эйлера состоит в приближении производной в окрестности i-го узла с помощью левой разности

Очевидно, что в этом методе искомая величина yi входит в уравнение в общем случае нелинейным образом. Поэтому необходимо применять известные методы решения нелинейных уравнений.

Можно показать, что явный и неявный метод – методы первого порядка точности. Т.е., погрешность в точке xi

i = y(xi) yi

равная разности между точным значением искомой функции y(xi) и значением сеточной функции в узле

i . h:

Можно построить другие методы решения задачи Коши. Например, приблизим производную в окрестности i-го узла с помощью

101

Полученная система уравнений не замкнута – необходимо доопределить y1, что можно сделать с помощью метода Эйлера

y1 = y0 + hf(x0; y0):

Можно показать, что построенная схема имеет второй порядок точности.

Рассмотрим модифицированный метод Эйлера. Запишем систему уравнений

102

а значение yi+1=2 вычисляем по методу Эйлера

которая, как можно показать, имеет второй порядок точности.

7.2 Метод Эйлера с пересчетом (предиктор-корректор)

Предиктор – предсказание результата, корректор – уточнение результата. Заменим правую часть нашего уравнения на среднее значений в соседних узлах:

Как видно, наклон интегральной кривой посередине отрезка [xi; xi+1] приближенно заменяется средним арифметическим наклонов на гра-

103

Искомое значение yi+1 входит и в правую сторону тоже, и его нельзя в общем случае выразить явно. Но его можно найти по формуле метода Эйлера:

7.3 Методы Рунге-Кутта

Рассмотренные ранее метод Эйлера и его модификация относятся к классу методов Рунге – Кутта. Суть методов – для вычисления yi+1

104

используется yi, а также значения функции f(x; y) в некоторых специальных точках. Широко распространен метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Алгоритм этого метода имеет вид

k3 = f(xi + h; yi + hk2)

7.4 Многоточечные методы

Многоточечные или многошаговые методы решения задачи Коши отличаются тем, что решение в текущем узле зависит от данных не только в одном предыдущем узле, но и в ряде предшествующих.

105

Такие методы можно строить, используя метод неопределенных коэффициентов. Для этого запишем разностное соотношение для i-

Коэффициенты ai и bi подбираются так, чтобы получить аппрок-

xi

Если решение в узлах вплоть до i-го уже вычислено, то по известным значениям fi = f(xi; yi) можно интерполировать подинтегральную функцию полиномами различной степени. Далее вычисляя интеграл от выбранного интерполяционного полинома, получаем фор-

106

мулы Адамса.

Приближая функцию f на отрезке [xi; xi+1] полиномом в форме

и учитывая первые два слагаемых при вычислении интеграла, поучаем метод Адамса второго порядка точности

Учитывая в (136) три слагаемых приходим к методу третьего порядка точности

и случае четырех слагаемых в (136) метод Адамса четвертого поряд-

107

Метод Адамса по сравнению с методом Рунге-Кутты требует меньших затрат при нахождении очередного значения yi+1, т.к. требуется найти лишь fi, а fi 1,...,fi 3 уже известны к этому моменту, а по формула Рунге-Кутты на каждом шаге надо находить четыре значения f.

Формулы Рунге-Кутты позволяют проводить вычисления с переменным шагом. Ну и при использовании многошаговых методов может неконтролируемо возрастать погрешность вычислений, т.е. возникать неустойчивость.

108