Мет выч методичка

Для того, чтобы исключить x1 из второго уравнения, прибавим к нему первое, умноженное на

a21:

a11

Далее, умножим первое уравнение на

a31 a11

и сложим с третьим. В результате у нас получится система уравне-

81

ний

Далее исключаем из третьего уравнения x2. Для этого надо умножить второе уравнение на

a032 a022

82

Далее начинается обратный ход метода.

В процессе исключения неизвестных необходимо выполнять операцию деления на коэффициенты a11, a022 (ведущие элементы). Они должны быть отличны от нуля. Если это не так, то необходимо соответствующим образом переставить уравнения системы, что должно быть предусмотрено в вычислительном алгоритме.

83

Модификацией метода Гаусса является схема с выбором ведущего элемента. В ней требование неравенства нулю диагональных элементов aii заменяется более жестким: из всех оставшихся в i-ом столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента aii. Благодаря этому уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что уменьшает погрешности вычислений. Модифицированный метод Гаусса обеспечивает приемлемую точность для систем с n . 1000. Число арифметических действий в методе Гаусса . n3, т.е. время, необходимое для решения, n3.

Уточнение корней Полученные методом Гаусса приближенные значения корней мож-

но уточнить. Пусть для системы

Ax = b

найдено приближенное решение x0. Положим x = x0 + ;

84

где

01

1;

BC

B2;C

BC

BC

B::::C

@ A

n

Тогда находим

A(x0 + ) = b

или

A = ";

где " = b Ax0 – невязка для решения x0 . Т.о. для нахождения " нужно решить линейную систему с прежней матрицей и другой правой частью.

85

3. Метод прогонки.

Метод прогонки представляет собой модификацию метода Гаусса для систем уравнений с трехдиагональной матрицей. Запишем такую систему уравнений:

Прямая прогонка состоит в нахождении прогоночных коэффициентов Ai и Bi, с помощью которых неизвестное xi выражается через

xi+1:

86

Подставим во второе уравнение системы выражение для x1: a2(A1x2 + B1) + b2x2 + c2x3 = d2

Отсюда,

x2 = c2x3 + d2 a2B1 a2A1 + b2

или

x2 = A2x3 + B2

87

Последние соотношения можно обобщить для произвольного номера i:

На этом заканчивается прямая прогонка. При обратной прогонке последовательно вычисляются неизвестные xi. Для этого сначала запишем

xn 1 = An 1xn + Bn 1

и последнее уравнение системы

anxn 1 + bnxn = dn:

Из двух последних уравнений находим xn:

xn = dn anBn 1 bn + anAn 1

88

Далее по прогоночным формулам находим все остальные неизвестные.

Получившаяся система (112) является основой метода простой итерации. Выбираем некоторое начальное приближение x(0), подставля-

89

ем в правую часть (112), получаем следующее (1-ое) приближение:

x(1) = Bx(0) + b

В результате

Формула (113) выражает метод простой итерации. От выбора параметра зависит его сходимость и скорость сходимости.

2. Метод Гаусса-Зейделя.

Метод Г-З представляет собой итерационный метод. Рассмотрим его на примере системы

90