19. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнение лагранжа 2-го рода).

Обобщенными координатами q_i называются независимые между собой параметры, с помощью которых можно определить положение всех точек механической системы. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы S: q₁, q₂, …,q_S. Положение всех точек кривошипно-ползунного механизма (рис. 63) зависит от одного параметра – угла поворота ведущего звена – кривошипа ОА.

;

;

Рисунок 63

Следовательно, для этого механизма обобщенной координатой является угол . Производная является обобщенной скоростью. Обобщенные координаты могут быть линейными (S,l,x,y) или угловыми ( , ), им будут соответствовать линейные или угловые обобщенные скорости.

Положение груза D (рис. 64) зависит от двух обобщенных координат:

q₁= -- угол поворота вала вокруг неподвижной оси;

q₂=х—линейная обобщенная координата, зависящая от упругих свойств пружины. Так как обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат , будут также независимы друг от друга.

Рисунок 64

П

,

, (19.1)

………………….

ри движении системы ее обобщенные координаты изменяются с течением времени. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода имеют следующий вид:

Число уравнений в системе (19.1) соответствует числу S степеней свободы. Величина Q_i в правой части уравнения Лагранжа называется обобщенной силой. Для определения обобщенной силы системе необходимо дать возможное перемещение по соответствующей координате, вычислить сумму элементарных работ заданных сил на соответствующих перемещениях и разделить на приращение обобщенной координаты, т.е. . (19.2)

Если все силы, действующие на систему, являются потенциальными, то обобщенную силу можно вычислить по формуле , (19.3) где П—потенциальная энергия системы.

Если все обобщенные силы равны нулю, механическая система будет находиться в равновесии. Уравнения Лагранжа дают единый и достаточно простой метод решения задач динамики. Число уравнений не зависит от числа точек или тел, входящих в систему, и определяется числом степеней свободы. В уравнениях Лагранжа учитываются только активные силы, силы инерции и реакции связей в него не входят.

Решение задач с использованием уравнений Лагранжа нужно проводить в такой последовательности:

1. определить число степеней свободы механической системы;

2. выбрать систему координат и ввести независимые обобщенные координаты по числу степеней свободы системы; оси координат направить таким образом, чтобы при движении системы приращения обобщенных координат были положительными;

3. вычислить кинетическую энергию системы, выразив все переменные величины, входящие в формулу энергии, через обобщенные координаты и обобщенные скорости, т.е. .

4. определить частные производные , ;

5. определить производные , считая, что все переменные, входящие в частную производную , являются функциями времени;

6. вычислить обобщенные силы, для чего

   • изобразить все активные силы и реакции неидеальных связей, действующих на систему;

   • дать независимые возможные перемещения по каждой обобщенной координате;

   • вычислить сумму работ всех активных сил и реакций неидеальных связей на каждом возможном перемещении , при этом все остальные возможные перемещения по остальным обобщенным координатам будут равны нулю;

   • тогда обобщенная сила ;

7. подставить все найденные величины в уравнение Лагранжа;

8. решить уравнение Лагранжа в соответствии с условиями задачи.

ПРИМЕР 28.

Барабаны радиусов r₁ и r₂, соединены между собой жестко, могут вращаться вокруг общей горизонтальной оси (рис. 65). На барабаны намотаны нерастяжимые нити, к концам которых подвешены груз А весом и груз В весом . Система движется под действием сил тяжести грузов. Определить угловое ускорение блока.

РЕШЕНИЕ.

1. Система имеет одну степень свободы: S=1. Принимаем за обобщенную координату угол поворота блоков вокруг горизонтальной оси, считая, что P₁>P₂.

2. запишем уравнение Лагранжа 2-го рода с учетом выбранной обобщенной

координаты: . (1)

3. Определим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий грузов 1и 2:

Т=Т₁+Т₂. (2) Кинетическую энергию каждого груза выразим через обобщенную скорость .

;

;

.

Вычислим производные: ; ;

.

4. Дадим системе возможное перемещение по обобщенной координате и вычислим сумму работ активных сил и на соответствующих перемещениях и .

.

Перемещения и выразим через :

;

, тогда . Вычисляем обобщенную силу . (3) Подставим в уравнение (1) выражение (2) и (3): , откуда определим угловое ускорение блока .

ПРИМЕР 29.

Механическая система состоит из тел 1, 2, 3 весом , , соответственно, связанных друг с другом нитями, намотанными на ступенчатые блоки 1 и 2 (рис.66). Радиусы ступенчатых блоков 1 и 2 равны соответственно R₁=R, r₁=0,4R₁, R₂=R, r₂=0,8R. При вычислении моментов инерции блоки считать однородными сплошными цилиндрами радиуса R. На систему кроме сил тяжести действует пара сил с моментом М₁=2РR, на участке АВ включена пружина с коэффициентом жесткости с, в начальный момент времени пружина не деформирована.

составить для системы уравнение Лагранжа и найти закон изменения обобщенной координаты х, т.е. х=f(t); считая, что движение начинается из состояния покоя, определить частоту и период колебаний, совершаемых телами системы при ее движении.

РЕШЕНИЕ.

Рисунок 66

1. Рассматриваемая система имеет две степени свободы: S=2. Принимаем за обобщенные координаты угол поворота невесомого блока 1 и линейную координату х --удлинение пружины. Тогда уравнения Лагранжа для системы будут иметь вид:

; (1)

.

2. Определим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий блока 2 и тележки 3: Т=Т₁+Т₃. (2) Блок 2 совершает вращательное движение вокруг неподвижной горизонтальной оси. Угловую скорость блок выразим через обобщенную координату :

.

Момент инерции блок а2: , тогда

. (3) Движение тележки 4 зависит от изменения обобщенных координат и х. Тележка совершает поступательное движение

.

Для определения скорости V₃ рассмотрим движение тележки как сложное, состоящее из относительного движения со скоростью и переносного движения со скоростью ;

;

;

. (4) Подставим значения Т₂ и Т₃ из (3) и (4) в равенство (2):

. (5)

3. Дадим системе возможное перемещение по обобщенной координате : , .

Вычислим производные: ;

;

. (6) Вычислим сумму элементарных работ активных сил на возможном перемещении. На перемещении элементарную работу совершит момент М. , тогда обобщенную силу можно определить по формуле:

. (7) Так как обобщенная координата угловая, обобщенная сила является моментом. Составим первое уравнение Лагранжа: . (8) Учитывая, что по условию задачи М=2РR, получаем . (9)

4. Дадим системе возможное перемещение по обобщенной координате х: , . Вычисли производные: ;

;

. (10) На возможном перемещении элементарную работу совершит сила упругости F=cx. .

Вычислим обобщенную силу: . (11) Составим второе уравнение Лагранжа . (12) Таким образом, движение механической системы можно описать двумя дифференциальными уравнениями:

; (13)

. (14)

Из уравнения (13) выразим и, подставив в (14), получим

или

, (15) где ; . Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (15) имеет вид: х=х₁+х₂, где х₁—общее решение однородного уравнения , т.е. ; х₂—частное решение уравнения (15) будем иметь в виде х₂=В=const. Подставляя решение х₂ в уравнение (15), получаем , тогда

. (16) Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определим из начальных условий, , , продифференцировав равенство (16) по времени:

. (17) При t=0 ; 0=kC₂. Следовательно , С₂=0. Окончательно получим искомую зависимость x=f(t) в виде:

. (18) Таким образом, тележка совершает колебания согласно уравнению (18). Круговая частота этих колебаний . Период колебаний .