28.Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Пусть для изучения количественного признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка x1…xk объема n. Наблюдавшиеся значения xi признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi вариационного ряда и соответствующих им частот ni (сумма всех частот равна n) или относительных частот wi(сумма = 1).
Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.
Эмпирической функцией распределения – называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X<x: F*(x)=nx/n, где nx – число вариант, меньших х, n- объем выборки. Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:
Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1].
F*(x) – неубывающая функция.
Если x1 – наименьшая варианта, а xk – наибольшая, то F*(x)=0 при x≤x1 и F*(x)=1 при x≥xk.
А. Дискретное распределение признака X. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1,n1)…(xk,nk), где xi – варианты выборки и ni – соответствующие им частоты.
Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (xk,wk), где xk – варианты выборки, а wk- соответствующие им относительные частоты.
Б. Непрерывное распределение признака X. При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h, и находят ni – сумму частот вариант, попавших в i-тый интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны соотношению ni/h. Площадь прямоугольника равна h(ni/h)=ni – сумме частот вариант, попавших в интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны соотношению wi/h. Площадь прямоугольника равна соответствующей относительной частоте, а площадь гистограммы = 1.
29. Числовые характеристики статистического распределения.
30. Критерии согласия(критерии Пирсона).
Допустим, что данное статистическое распределение выровнено с помощью некоторой теоретической кривой. Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между ней и мтатистич. распределением неизбежны некоторые расхождения. Критерий согласия отвечает на вопрос, объясняются ли эти расхождения ошибками измерения или расхождение явл. существенным и подобранная нами кривая плохо выравнивает статистическое распределение.
Выдвигается гипотеза Н, состоящая в том, что случ величина X подчиняется данному закону распределения. Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, рассматривают некоторую величину Н, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений.
В зависимости от выбора величины Н существует несколько критериев согласия. Используем для доказательства критерий χ² или критерий Пирсона.
Предположим, что произведено m независимых опытов, в каждом из которых случ величина Х приняла некоторое значение. Результаты записываются в виде статистического ряда. Для теоретического значения распределения можно найти теоретическую вероятность попадания случ величины в каждый интервал. Проверим согласованность теоретического и статистического распределений: выберем в качестве меры расхождения сумму квадратов отклонения, взятых с некоторым коэффициентом Сi.
Коэффициент Сi вводится, потому что в общем случае отклонения, относящиеся к различным разрядам нельзя считать равноправными.
Пирсон полагает, что если в качестве веса взятьCi=n/pi, то при больших значениях n распределение величины U обладает следующими свойствами: оно практически не зависит от ф-ии распределения, а зависит только от числа разрядов.
Распределение χ² зависит от параметра r, называемым числом степеней свободы, с увеличением которого распределение медленно приближается к нормальному.
После расчета χ² для статистического распределения по расчетным таблицам находим значение χ-критическое. Если χ² -критическое > χ² -наблюдаемого – нет оснований опровергать гипотезуH.