4.7 Линейные однородные д.У. Второго порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида
|
(1) |
,
где
– константы.
Общее решение такого уравнения имеет вид
где
– произвольные постоянные
-общее
решение однородного уравнения,
-линейно
независимые частные решения уравнения
(1).
Определение. Функции
и
называются линейно независимыми
(зависимыми) на (a,
b), если при
Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения
|
(2) |
,называемого характеристическим, в котором степень k равна порядку производной в уравнении (1).
При этом возможны следующие случаи:
1. При
уравнение (2) имеет действительные
различные корни
,
тогда частные решения ДУ (1) имеют вид
,
(в чем можно убедится непосредственной
подстановкой).
Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:
2. При
характеристическое уравнение (2) имеет
два действительных равных корня
,
тогда частными решениями Д.У. (1) являются
функции
,
общее решение (1) имеет вид
3. Если
,
то характеристическое уравнение (2) не
имеет действительных корней, но имеет
комплексные корни вида
.
Тогда частные решения
Общее решение (1) имеет вид
Примеры (см. задание 5):
1)
,
составим характеристическое уравнение:
;
;
.
2)
,
составим характеристическое уравнение
;
;
.
3)
4)
4.8 Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Это уравнение вида:
|
(3) |
,
где
– многочлены степени n
и m соответственно.
– постоянные величины.
Известно, что общее решение таких уравнений имеет вид
,
где
– какое-либо частное решение неоднородного
уравнения (3),
– общее решение соответствующего
однородного уравнения
Частное решение уравнения (3) ищем в виде, подобном правой части:
|
(4) |
,
где
многочлены k-той
степени с неизвестными коэффициентами,
определяемыми в процессе решения,
k=max{n,m}.
При этом следует составить число
,
где
– коэффициент при x
в показателе
,
– коэффициент при x
в аргументе синуса или косинуса (если
один из них отсутствует). Если это число
не
является корнем характеристического
уравнения, то
в виде (4) оставляем без изменения, если
есть корень кратности s
(повторяется s раз),
то выбранный
домножаем на
.
Примеры
1) Если
,
то смотрим является ли корнем
характеристического уравнения число
,
8 – многочлен нулевой степени, в общем
виде это некоторое число, т.е. выбираем
.
2)
.
После предварительного выбора
проверяем, является ли число
корнем характеристического уравнения.
Далее находим первую, вторую производную
,
подставляем их в первоначальное уравнение
и находим A, B,
C.
Примеры (см. задание 5):
а) Найдем
,
решим соответствующее однородное
уравнение
,
составим характеристическое уравнение
,
(корень
кратности 2 – повторяется 2 раза),
тогда
-общее
решение соответствующего однородного
уравнения.
б) Найдем
.
Его будем искать в виде, подобном правой
части. Там
-это
многочлен второй степени, в общем виде
это
,
т.е.
.
Число
не является корнем характеристического
уравнения, значит,
оставим в выбранном виде. Теперь найдем
неизвестные коэффициенты
.
Так как
– есть решение первоначального
дифференциального уравнения, то оно
обращает это уравнение в тождество.
Найдем
и подставим в первоначальное уравнение
Два многочлена тождественно равны тогда
и только тогда, когда равны их коэффициенты
при одинаковых степенях неизвестного.
Приравняем коэффициенты при
(свободный член) в обеих частях
тогда
.
Общее решение
.
,
а)
-решаем
соответствующее однородное уравнение.
Составим его характеристическое
уравнение.
б) ,
-является
корнем характеристического уравнения,
тогда
домножим на x , так
как пара
повторяется
один раз, тогда окончательно
.
Найдем A и B.
Подставим в первоначальное ДУ
Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x
,
тогда
.
Замечание. Если в правой части
отсутствуют
и
,
частное решение ищем все равно в виде
суммы двух слагаемых.